فرض کنید $n$، عددی طبیعی باشد. ثابت کنید مجموعه ای $n$-عضوی وجود دارد که مجموع اعضای هیچ زیر مجموعه ای از آن مربع کامل نیست.

Question

فرض کنید $n \in \mathbb{N}$ باشد. ثابت کنید مجموعه‌ای $n$-عضوی وجود دارد که مجموع اعضای هیچ زیر مجموعه‌ای از آن مربع کامل نیست.

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Comments

@FFfg تلاش یا فکر خودتان را نیز اشاره کنید.

Answer 1

مجموعه ی $N$ را به این صورت تعریف میکنم: $$N = \lbrace 2^{2k-1}|1 \leq k \leq n\rbrace $$ حال زیر مجموعه ای دلخواه از $N$ مانند $ \lbrace 2^{2i_1-1},2^{2i_2-1},...,2^{2i_k-1} \rbrace $ را در نظر بگیرید و بنابر تقارن فرض کنید کوچک ترین عضو آن $2^{2i_1-1}$ باشد. حال داریم: $$S = \sum\limits_{j=1}^k 2^{2i_j-1} = 2^{2i_1-1}(1+2^{2i_2-2i_1}+...+2^{2i_k-2i_1})$$ که پرانتز سمت راست عددی فرد است.پس در $S$ تعداد عوامل ۲ عددی فرد است و بنابراین نمیتواند مربع کامل باشد و در نتیجه $N$ ویژگی های سوال را دارد.