یکریختی گروه خارج قسمتی

Question

چرا گروه خارج قسمتی$\frac{Z \times Z}{ < (2,2) > }$ با گروه $Z_{2} \times Z$ یکریخت است؟

و همینطور گروه خارج قسمتی $\frac{Z_{4} \times Z_{6} }{ < (0,2) > }$ با چه گروهی یکریخت است؟

Answer 1

اگر تعریف گروه خارج‌قسمتی و یا تعریف یکریختی گروهی را نمی‌دانید باید ابتدا این تعاریف را یاد بگیرید و سپس به حل این مسأله فکر کنید. پس در اینجا فرض می‌کنیم این دو تعریف را می‌دانید.

برای حل یک مسأله اول باید مطمئن شوید صورت سوال را درست یا کامل نوشته‌اید (فهمیده‌اید). چون به عمل گروه‌ها اشاره نکردید فرض می‌کنیم که عمل جمع اعداد صحیح و عمل جمع باقیمانده‌ها به پیمانه و عمل جمع مؤلفه‌به‌مؤلفه برای حاصلضرب دکارتی را در نظر دارید.

به‌یادآورید که اعضای یک گروه خارج‌قسمتی از جنس مجموعه هستند، همدسته‌ها! کلاس‌های هم‌ارزی! و برای نمایش یک عضو این گروه می‌توانید از هر یک از نمادهای زیر به دلخواه (متناسب با هدف) استفاده کنید؛ به‌فرض گروه $G$ و زیرگروه $H$ را داریم و گروه خارج‌قسمتی $\frac{G}{H}$ را در حال بررسی هستیم. $$g+H,\text{ یا },\bar{g}$$ که $g$ عضوی از $G$ است و هر یک از دو نماد یعنی مجموعهٔ تمام عناصر $G$ که در همدستهٔ $g$ هستند. من از نماد دومی استفاده می‌کنم و گاهی خط بالای آن را نمی‌گذارم ولی باید به یاد داشته‌باشید که به طور معمول باید خط بالای آن را بگذارید و گر نه همدستهٔ این عنصر و خود این عنصر (که اولی یک مجموعه و دومی یک عنصر است) با هم اشتباه می‌شوند. به یاد آورید که این همدسته یا کلاس هم‌ارزی مربوط به رابطهٔ هم‌ارزیِ $gh^{-1}\in H$ بود. چون عمل گروه اینجا جمع است پس دو عنصر در یک همدسته هستند اگر و تنها اگر تفاضلشان در زیرگروه مورد نظر (مخرج) قرار گیرد. برای هر همدسته بیایید یک نماینده برداریم (همان کاری که برای گروه خارج قسمتی $\bar{\mathbb{Z}}_n=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ می‌کردید).

مسلما هر زوج مرتب $(a,b)$ از اعداد صحیح که هر دوی $a$ و $b$ از بیرون از مجموعهٔ $\lbrace 0,1\rbrace$ بیایند بوسیلهٔ یک مضرب از $(2,2)$ قابل ساده‌شدن به یک عضو دیگر که دست‌کم یکی از دو مؤلفه‌اش متعلق به این مجموعهٔ دوعضوی باشد خواهدبود. پس نماینده‌هایمان به مجموعهٔ زیر تحدید می‌‌شوند. $$\lbrace (a,b)\mid a\in\lbrace 0,1\rbrace\text{ or }b\in\lbrace 0,1\rbrace\rbrace$$ اکنون توجه کنید که با توجه به رابطه‌های زیر، این مجموعه هنوز دارای نماینده‌های تکراری است. $$\begin{array}{l} (0,2k)\in\overline{(-2k,0)}\\ (0,2k+1)\in\overline{(-2k,1)}\\ (1,2k)\in\overline{(-2k+1,0)}\\ (1,2k+1)\in\overline{(-2k+1,1)} \end{array}$$ پس تا اینجا ثابت کردیم که مجموعهٔ نماینده‌های غیر تکراری زیرمجموعهٔ $\mathbb{Z}\times\lbrace 0,1\rbrace$ است. برای اینکه ثابت کنیم هیچ دقیقا این مجموعه است باید توجه کنید که تفاضل هیچ دو عنصر متمایز از این مجموعه دارای هر دو مؤلفهٔ زوج ناصفر نخواهدشد. اکنون یکریختی‌ای که دنبالش هستید روشن است باید هر عنصر از $\mathbb{Z}\times\lbrace 0,1\rbrace$ را به یک عنصر از $\mathbb{Z}\times\bar{\mathbb{Z}}_2$ به گونه‌ای تصویر کنید که عمل گروه و وارون گروه نسبت به تابع بازشدنی باشد. اگر متوجه این یکریختی نمی‌شوید باید تعریف یکریختی را از نو مرور کنید.

برای سوال دوم، پاسخ خیلی بدیهی است و تعجب می‌کنم که چرا به همراه پرسش قبلی تکرارش کردید. بهتر است یک مثال از این مفهوم بپرسید و برای سوال مشابه خودتان فکر کنید و اگر نکتهٔ جدیدی یا سختی داشت که متوجه نشدید در قالب پرسش جدید بپرسید. پاسخ $\bar{\mathbb{Z}}_4\times\bar{\mathbb{Z}}_3$ است. به چند طریق می‌توان آن را ثابت کرد، یکی به روش مستقیم مانند بالا و دیگری توجه به اینکه زیرگروه دوری تولید شده توسط $(0,2)$ برابر با $\langle 0\rangle\times\langle 2\rangle$ می‌شود (همیشه اینطور نیست که برابر با حاصلضرب دکارتی زیرگروه‌های تولید شده توسط تک‌مؤلفه‌ها بشود! پس در این مثال خاص باید برای خودتان اثباتش را که خیلی بدیهی و ساده است چک کنید و بنویسید)، سپس توجه کنید که $\frac{\bar{\mathbb{Z}}_4}{\langle \bar{0}\rangle}\cong \bar{\mathbb{Z}}_4$ و $\frac{\bar{\mathbb{Z}}_6}{\langle \bar{2}\rangle}\cong \bar{\mathbb{Z}}_3$ .