حد $\lim_{x\to 0}\frac{x^3-\sin^3x}{x^5}$ را بدون استفاده از هوپیتال و همارزی بدست آورید.

Question

سلام. حاصل حد تابع $\frac{x^3-\sin^3x}{x^5}$ زمانی که $x$ به صفر میل می‌کند را بدون هم‌ارزی و هوپیتال بدست آورید. در صورت عدم استفاده از هم‌ارزی پرتوان چه راه حل عمومی‌ای پیشنهاد می‌شود؟

Comments

بنام خدا.اگرصورت کسر راتجزیه کنیم داریم $ \lim_{x \rightarrow 0}  \frac{(x-sinx)( x^{2}+xsinx+sin ^{2} x)    }{ x^{5} } = \lim_{x \rightarrow 0}  \frac{3(x-sinx)}{ x^{3} }$ بایدثابت کنیم $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-sinxa}{ x^{3} } = \frac{1}{6} $

---

سلام صورت کسر آخر صفر مطلق نمی‌شود چون حالت حدی دارد و هیچ جزء صحیحی وجود ندارد که 1 مطلق بوجود آید. ضمن آنکه پاسخ این حد کلاً صفر نمی‌شود!

---

@Hamidpms دیدگاه @mdardah در واقع یک پاسخ درست به پرسش شماست. البته بهتر می‌بود در خط نخست ابتدا حد را از ضرب عبور می‌دادند یعنی می‌نوشتند $\lim_{x\to 0}\frac{x^2+x\sin x+\sin^2x}{x^2}\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ و سپس یکی را به ۳ و دیگری را به $\frac{1}{6}$ ساده می‌کردند. چون به شکلی که خط اول نوشته‌شده‌است مانند این است که اجازه دهیم قسمتی از داخل حد را زودتر ساده کنیم که در حالت کلی نادرست است.
نکتهٔ بعدی که اگر استفاده می‌کردند دیگر حرفی از هم‌ارزی نمی‌آمد که خواستهٔ شما در پرسش است، این است که در هر دو کسر به جای $\sin x$ از بسط تیلور (بدون قطع کردن دنباله‌ها از جایی به بعد، پس کل بسط را بنویسید) آن در $x=0$ استفاده کرد. پس از جایگذاری در صورت کسر نخست یک $x^2$ فاکتور گرفته می‌شود و جملهٔ ثابت ۳ می‌شود به همراه یک سری جملهٔ $x$دار. با ساده‌کردن $x^2$ صورت و مخرج، اعمال $x\to 0$ به شما $2+0+0+...$ می‌دهد. در مورد کسر دوم هم کار یکسان انجام دهید.

---

@mdardah , @Hamidpms ملاحظه بفرمایید
https://math.irancircle.com/6133

Answer 1

$ \frac{x^{3} -Sin^3x}{ x^{5} }= \frac{(x-Sinx)( x^{2} +xSinx+Sin^2x)}{ x^{5}}= \frac{x-Sinx}{ x^{3}} \frac{ x^{2} +xSinx+Sin^2x}{ x^{2} } $

واضح است که در سمت راست تساوی که حاصلضرب دو کسر است ، حد کسر سمت راست در $0$ موجود و برابر $3$ است.حد کسر چپ هم در $0$ بنا به قاعده هوپیتال موجود است.

حالا اگر قرار دهیم $u= \frac{x}{2} $ آنگاه داریم:

$ \frac{x-Sinx}{x^3}= \frac{2u-Sin2u}{(2u)^3}= \frac{2u-2SinuCosu}{8 u^{3} }= \frac{u-SinuCosu}{4 u^{3}}$

$= \frac{u-Sinu+Sinu-SinuCosu}{4 u^{3} }= \frac{u-Sinu}{4 u^{3} }+ \frac{Sinu(1-Cosu)}{4u^{3} }$

$= \frac{u-Sinu}{4u^{3}} +\frac{Sinu(1-Cosu)(1+Cosu)}{4u^{3}(1+Cosu) }$

$= \frac{u-Sinu}{4u^3}+ \frac{Sinu(1-Cos^2u)}{4u^3(1+Cosu)}= \frac{u-Sinu}{4u^3}+ \frac{Sin^3u}{ 4u^{3}(1+Cosu) }$

حالا اگر قرار دهیم:

$ \lim_{x\to 0} \frac{x-Sinx}{x^3}=A$

آنگاه:

$A= \frac{A}{4}+ \lim_{u\to 0} \frac{Sin^3u}{4u^3(1+Cosu)}= \frac{A}{4}+ \frac{1}{8} \Rightarrow A= \frac{1}{6}$

لذا حد کل کسر در $0$ برابر است با $ \frac{1}{6} \times 3= \frac{1}{2} $