اینکه گفتید میدانهای متناهی مشخصهشان ناصفر میشود درست است ولی جملهٔ بعدیتان نادرست است که میگوئيد میدانهای نامتناهی مشخصهٔ صفر دارند. چیزی که شما اثبات میکنید این است که اگر مشخصهٔ یک میدان صفر باشد آنگاه هیچ دو $n$-بار جمع عضو همانی ضربیِ میدان یعنی ۱ یکسان نخواهد شد که $n$ عدد طبیعی دلخواه است پس عملا عدد اصلی مجموعهٔ پسزمینهٔ این میدان از عدد اصلی اعداد طبیعی بزرگتر یا مساوی خواهد شد که اثبات نامتناهی بودنش میشود. اما این یک نتیجهٔ یک طرفه است:
$$(\text{Characteristic of a field }=0)\Longrightarrow(\text{ that filed is not finite})$$
علامت نتیجهگیری دو طرفه نیست پس از اینکه یک میدان نامتناهی است نمیتوانید نتیجه بگیرید که مشخصهاش حتما باید صفر باشد!
میدان توابع گویا را میشناسید؟ مجموعهٔ چندجملهایها با ضرایب حقیقی و یک متغیر $x$ را در نظر بگیرید. با عمل جمع و ضرب معمولی چندجملهایها (عبارات جبری) تشکیل یک حلقهٔ جابجایی میدهد. اکنون مجموعهٔ کسرهایی که صورت و مخرجشان عناصری از این حلقه هستند و مخرج چندجملهایِ ثابت صفر نیست را در نظر بگیرید. با عمل جمع و ضرب بدیهیای که رویشان تعریف میشود تشکیل یک میدان میدهند. حلقهٔ اول را با $\mathbb{R}[x]$ و میدان دوم را با $\mathbb{R}(x)$ نمایش میدهند. خیلی بدیهی میتوانید چک کنید که عضو همانی ضربی این میدان، چندجملهای ثابت ۱ است و اینکه هر چند بار آن را با خودش جمع کنید، حاصل ناصفر میشود. پس مشخصهٔ این میدان صفر است. ولی قرار بود یک مثال با مشخصهٔ ناصفر بزنیم. خب به میدانی که برای ضرایب استفاده کردیم نگاه کنید، اگر به جای $\mathbb{R}$ از $\bar{\mathbb{Z}}_p$ استفاده میکردیم، همه چیز خوشتعریف باقی میماند. بعلاوه این دفعه عضو همانی ضربی میدان تابعهای گویایمان $p$ بار که با خودش جمع شود صفر میشود پس مشخصهٔ میدان $p$ است. اکنون آیا این میدان متناهی است؟ پاسخ خیر است چون مجموعهٔ نامتناهیِ $\{x,x^2,x^3,\cdots\}$ یک زیرمجموعهٔ آن است که هیچ دو عضوش تکراری نیست.
