چرا مشخصهٔ یک میدان تنها می تواند صفر یا یک عدد اول باشد؟

Question

گزارهٔ ۱ بخش ۱۳.۱ صفحهٔ ۵۱۰ کتاب Abstract Algebra نوشتهٔ David S. Dummit و Richard M. Foote ویرایش سوم که در زیر ترجمهٔ آن را آورده‌ایم را بخوانید.

مشخصهٔ یک میدان $F$ که با ${\rm char}(F)$ نمایش می‌دهیم، یا عدد صفر است یا یک عدد اول $p$. اگر ${\rm char}(F)=p$ آنگاه برای هر $\alpha\in F$ داریم

$$p\cdot\alpha=\underset{p\text{ times}}{\underbrace{\alpha+\alpha+\dots+\alpha}}=0$$

من اثبات این قضیه را از روی کتاب متوجه نمی‌شوم. آیا منبع فارسی برای اثبات این گزاره دارید؟ یا اینکه می‌شود راهنمایی کنید که کتاب برای اثبات این گزاره چه کرده‌است؟

قضیه : ثابت کنید در یک میدان ، مشخصه میدان یا صفر است یا یک عدد اول من اثبات این قضیه رو در کتاب abstract algebra نوشته David .S Dummit خوندم ولی اصلا متوجه نشدم چطوری اثبات کرده

Answer 1

دقیقا بالای همین گزاره را بخوانید پس از تعریف کردن سرشت‌نمای میدان اثبات قسمت اول گزاره آورده‌شده‌است! بنابراین شما می‌بایست از کمی پیش از گزاره شروع به خواندن می‌کردید. بعلاوه در شروع اثبات در زیر گزاره نوشته شده‌است؛

$$\text{Only the second statement has not been proved, ...}$$

استفاده از has not been proved که زمانش present perfect است یعنی «تنها قسمتی که اثبات نشده‌است قسمت دوم است»، یعنی چه؟ یعنی قسمت اول اثبات شده‌است (قبلا)! پس کمی بالاتر را نگاه کنید!

برویم ببینیم چه نوشته است. نخست توجه کنید که در تعریف آمده‌است که سرشت‌نمای یک میدان کوچکترین عدد طبیعی‌ای است که اگر عضو یکِ میدان را آن تعداد مرتبه با خودش جمع کنید برابر صفر شود و اگر چنین عددی وجود ندارد، آن را صفر تعریف می‌کنیم. پس اگر مشخصهٔ میدان را $n$ بگیریم، نه تنها داریم که $n\cdot 1_F$ برابر صفر است بلکه اگر عدد دیگری پیدا کردید که $m\cdot 1_F=0$ آنگاه باید $m$ از $n$ بزرگتر باشد! به عبارت دیگر اگر عدد طبیعی دیگری به دلخواه بردارید که از $n$ کوچکتر است محال است که $m\cdot 1_F$ برابر با صفر شود. تا اینجا را متوجه شدید؟ اگر بلی برویم سراغ متنی که پس از برابریِ (۱۳.۱) در همان صفحهٔ کتاب آمده‌است.

می‌گوید چنین عددی یا صفر است یا عددی اول. اگر صفر باشد که هیچ. پس فرض کنید صفر نیست. پس حالت‌هایی که داریم هر عدد طبیعی‌ای ممکن است باشد، باید نشان دهیم که غیر اول‌ها نیست. فرض خلف کنید که اول نیست پس یعنی چه؟ یعنی دو عدد طبیعی دیگر که هیچ کدام ۱ یا $n$ نیستند مانند $a$ و $b$ هستند که ضربشان می‌شود $n$ یعنی $n=ab$. نه؟

اکنون فقط بازی ساده و جایگذاری دارید!

$$n\cdot 1_F=(ab)\cdot 1_F=(a\cdot 1_F)(b\cdot 1_F)$$

اما چون $n\cdot 1_F=0$ پس باید داشته‌باشیم $(a\cdot 1_F)(b\cdot 1_F)=0$ ولی از طرفی مگر میدان‌ها دامنه‌های صحیح نبودند؟ پس اگر ضرب دو عنصر از یک میدان صفر شود مگر نباید حتما دست‌کم یکی از دو عنصر صفر بوده‌باشد؟ پس باید داشته باشیم که $a\cdot 1_F=0$ یا $b\cdot 1_F=0$ اما در هر دو صورت چون $a$ و $b$ عدد طبیعی شمارندهٔ $n$ و مخالف خود $n$ هستند پس باید اکیدا کوچکتر از $n$ باشند. این تناقض نیست؟ تعریف سرشت‌نما بودن $n$ نتیجه می‌داد که کوچکتر از او ... . پس؟ فرض خلف باطل و از آنجا؟ $n$ اصلا شمارندهٔ طبیعی غیر از ۱ و خودش ندارد. یعنی؟ $n$ عددی اول است. قسمت دوم گزاره را هم که نپرسیده‌اید پس فرض می‌کنم متوجهش شده‌اید.

Comments

خیلی ممنون لطف کردید