چهار عدد طبیعی را بگونهای بیابید که حاصلضرب آنها از حاصلجمعشان کمتر باشد و جمع سه تا از آنها ۲۸ شود.

Question

پرسش ۷ صفحهٔ ۲۶ کتاب «جبر از آغاز تا پایان» ترجمهٔ پرویز شهریاری به شرح زیر است:

حاصل‌ضرب چهار عدد صحیح مثبت از مجموع آن‌ها کوچکتر و مجموع سه تا از این اعداد برابر ۲۸ است. همه این گونه اعداد را پیدا کنید.

آیا راه حل کاملا جبری بدون اینکه حدس بزنیم اعداد را وجود دارد؟ چون فکر کنم باید ۲ معادله با ۴ تا مجهول تشکیل داد و جایگزین کردن متغیرها هم جواب نمیدهد.

Comments

@Mohamadmahdi12 پرسش را برایتان ویرایش کردم، تفاوت عنوان جدید با عنوان قدیمتان را ملاحظه کنید. بعلاوه در مرجع نمی‌نویسند که از فلان جا می‌توانید دانلود کنید! کتب منتشر شده دارای حق چاپ و نشر copyright هستند.

و اما در مورد ابهامی که دارید، پرسش ادعا نکرده‌است که پاسخ یکتاست پس اینکه تعداد مجهول‌ها بیشتر از تعداد معادله‌ها است تناقضی ایجاد نمی‌کند، پرسش مجموعهٔ تمام پاسخ‌ها را خواسته‌است. بعلاوه شما به مجموعهٔ اعداد طبیعی محدود هستید که حاصلضربشان از یک عدد ثابتی باید کمتر باشد پس مجموعهٔ جواب‌هایتان زیرمجموعهٔ یک مجموعهٔ متناهی است و تضمین می‌کند که تعداد پاسخ‌ها متناهی خواهد بود. و در آخر، بلی می‌توانید پاسخ را به صورت جبری محاسبه کنید.

Answer 1

1. $a+b+c=28$
2. $28+d>abcd$
3. $1,2 \Longrightarrow \frac{28}{d} >abc-1$

از آنجا که d عددی طبیعی است پس:

4. $ \frac{28}{d} <28 \Longrightarrow abc<29$

با توجه به (4) دو عدد از سه عدد باید کمتر از جذر 29 باشند پس:

5. $(a,b<6),(1) \Longrightarrow c>17$
6. $4,5 \Longrightarrow a,b=1$
7. $6,1 \Longrightarrow c=26$
8. $7,3 \Longrightarrow d=1$

Comments

خیلی ممنون استاد .