ثابت کنید مجموعهٔ تمام اعداد جبری، شمارای نامتناهی است.

Question

عدد حقیقی $a$ را یک عدد جبری گوئیم هرگاه ریشهٔ یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشد. ثابت کنید مجموعهٔ تمام اعداد جبری، شمارای نامتناهی است.

Answer 1

خیلی بدیهی است که مجموعهٔ عددهای جبری متناهی نیست. هر عدد گویایِ $\frac{a}{b}$ ریشهٔ چندجمله‌ایِ خطی (درجهٔ یک)-ِ $f(x)=bx-a=0$ است. پس اگر مجموعهٔ عددهای جبری را با نماد $A$ نمایش دهید آنگاه $\mathbb{Q}\subseteq A$ و چون می‌دانیم مجموعهٔ عددهای گویا نامتناهی است پس نتیجه می‌گیریم که $A$ نیز نامتناهی است.

یک عدد طبیعیِ دلخواه مانند $n$ را در نظر بگیرید. مجموعهٔ چندجمله‌ای‌های با ضریب‌های درست (صحیح) و از درجهٔ $n$ (ضریب جملهٔ $n$اُم ناصفر و جملهٔ با توان بالاتر از $n$ ندارند) را با $P_n$ نمایش دهید. با توجه به نگاشت یک‌به‌یک و پوشای زیر $$\left\lbrace\begin{array}{lll} P_n & \longrightarrow & (\mathbb{Z}-\lbrace 0\rbrace)\times\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}\\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 & \longmapsto & (a_n,a_{n-1},\cdots,a_0) \end{array}\right.$$ مشخص است که $$\begin{array}{ll} |P_n| & =|(\mathbb{Z}-\lbrace 0\rbrace)\times\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}|\\ & =|\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\cdots\times\mathbb{N}|\\ & =|\mathbb{N}| \end{array}$$

یک چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ دقیقا دارای $n$ ریشه با شمردن تکرارشان و ریشه‌های مختلط است. پس مجموعهٔ (در مجموعه تکرارها خودبه‌خود حذف می‌شوند و هر عضو تنها یک بار شمرده می‌شود) عددهایی که ریشهٔ یک چندجمله‌ای از $P_n$ هستند برابر با مجموعهٔ حاصل از یک اجتماع از مجموعه‌های حداکثر $n$-عضوی که اجتماع روی $f\in P_n$ تغییر می‌کند است. می‌دانیم که اجتماع شمارایی از مجموعه‌های شمارش‌پذیر، شمارش‌پذیر است. پس اگر مجموعهٔ عددهایی که ریشهٔ عضوی از $P_n$ هستند را با $S_n$ نمایش دهیم داریم که $|S_n|\leq|\mathbb{N}|$. اکنون توجه کنید که هر عضو از $A$ ریشهٔ یک چندجمله‌ای درجهٔ چندی است پس باید یک عدد طبیعیِ $n$ای بتوان یافت که این عدد جبری در $S_n$ بوده‌باشد. این یعنی $A=\cup_{n\in\mathbb{N}}S_n$ و دوباره از همان نکتهٔ اجتماع شمارای مجموعه‌های شمارش‌پذیر، مجموعه‌ای شمارش‌پذیر است داریم که $|A|\leq|\mathbb{N}|$، اما از پاراگراف نخست‌مان هم داشتیم که $|A|\geq\mathbb{N}$. با کنار هم گذاشتن این دو داریم $|A|=|\mathbb{N}|$ که یعنی عدد اصلی مجموعهٔ عددهای جبری شمارای نامتناهی است.

توجه کنید که مجموعهٔ عددهای جبری حقیقی زیرمجموعه‌ای از مجموعهٔ عددهای جبری مختلط است و شامل عددهای گویا. پس هر دو مجموعهٔ عددهای جبری حقیقی و عددهای جبری مختلط دارای عدد اصلی یکسان هستند.