در مختصات قطبی از داشتن تقارن نسبت به محور x و نسبت به محور y میتوان متقارن بودن نسبت به مبدا را نتیجه گرفت؟

Question

با سلام اگر یک منحنی که در مختصات قطبی برحسب r و$ \theta $ بیان شده باشد، داشته باشیم آیا از داشتن تقارن نسبت به محور x و نسبت به محور y میتوان متقارن بودن نسبت به مبدا را نتیجه گرفت؟ اگر میشود چگونه؟ و اگر نمیشود لطفا یک مثال نقض بیاورید با تشکر

Comments

@s.j.sss منطورتان این است که نسبت به محور $r$ها و $\theta$های صفحهٔ قطبی تقارن را دارید و مي‌خواهید ببینید آیا تقارن نسبت به مبدأ مختصات در صفحهٔ دکارتی را می‌شود نتیجه گرفت یا خیر، درست می‌گویم؟ چون محور $x$ها و $y$ها دیگر در صفحهٔ $r\circ\theta$ که مربوط به مختصات قطبی است وجود ندارند، بلکه محور افقی اسمش الآن محور $r$ها و محور عمودی اسمش محور $\theta$ها است. اگر تقارن نسبت به محور $x$ها و محور $y$ها را فرض بگیرید و سپس تقارن نسبت به مبدأ مختصات دکارتی را بخواهید، که دیگر پرسش‌تان به همان مختصات دکارتی برمی‌گردد.

---

حقیقتا یکی از دوستانم این سوال را از من پرسیدند. و من برای اینکه دقیق منظورم رو بیان کنم یک مثال میزنم:
در مبحث رسم نمودار هایی که در مختصات قطبی بیان شده اند مثلا میگفتند که اگر به جای (r,theta) در رابطه (r,-theta) قرار دادید و رابطه شما هیچ تغییری نکند میتوان گفت نسبت به محور x متقارن است و به جای مقدار دادن از 0 تا 2pi، مثلا از 0 تا pi مقدار میدهیم و سپس شکل را قرینه میکنیم

---

@s.j.sss خب حدسم درست بود، فرض شما تقارن نسبت به محورهای $r$ و $\theta$ است نه محورهای $x$ و $y$. و در مثالی که زدید باید بگوئید نسبت به محور $r$ها تقارن دارد نه $x$ها چون شما اصلا محوری به اسم $x$ها در صفحه‌ای که نقطهٔ $(r,\theta)$ را گذاشته‌اید ندارید و $r$ را با $-r$ جابجا کرده‌اید نه $x$ را با $-x$.

---

سلام وقت بخیر آیا عکس این قضیه برقرار است ؟

Answer 1

فرض می‌کنیم مجموعهٔ $A\subseteq\mathbb{R}^2$ را که می‌تواند نمودار یک تابع باشد یا یک شکل هندسی یا در کل یک مجموعه باشد را بر روی هر دو صفحهٔ دکارتی و قطبی نمایش داده‌ایم. فرض کنیم در نمایشِ آن در صفحهٔ قطبی (توجه کنید محورهای این صفحه با $r$ و $\theta$ علامت‌گذاری می‌شوند نه $x$ و $y$، و این صفحه را $r\circ\theta$ می‌نامند) تقارن نسبت به محور $r$ها و محور $\theta$ها داریم یعنی اگر نقطهٔ $(r_0,\theta_0)$ غضوِ $A$ باشد آنگاه نقطه‌های $(-r_0,\theta_0)$ و $(r_0,-\theta_0)$ نیز عضوِ $A$ هستند. اکنون پرسش این است که آیا در صفحهٔ $x\circ y$ شکلِ مجموعهٔ $A$ تقارن نسبت به مبدأ مختصات دارد؟ این تقارن به این معناست که اگر نقطهٔ $(x_0,y_0)$ عضوی از $A$ باشد آنگاه نقطهٔ $(-x_0,-y_0)$ نیز عضو $A$ است؟

برای اینکه از فرض‌هایمان بتوانیم استفاده کنیم به یاد آورید که اگر نقطه‌ای مثلا $P$ مختصات دکارتی و قطبی‌اش را به ترتیب با $(x,y)$ و $(r,\theta)$ نمایش دهیم آنگاه داریم $x=r\cos(\theta)$ و $y=r\sin(\theta)$. پس نقطهٔ $(-x,-y)$ باید در رابطه‌های زیر صدق کند: $$ \begin{array}{l} -x=-r\sin(\theta)=(-r)\sin(\theta)\\ -y=-r\cos(\theta)=(-r)\cos(\theta) \end{array} $$ یعنی نمایشِ قطبیِ $(-x,-y)$ برابر است با $(-r,\theta)$ که با توجه به تقارن نسبت به محور $r$ها عضو $A$ است. پس پاسخ «بلی» است.

توجه کنید که اصلا نیازی به تقارن نسبت به محور $\theta$ها نشد. در واقع تقارن نسبت به محور $r$های قطبی هم‌ارز (معادل) با تقارن نسبت به مبدأ مختصات دکارتی است.

البته توجه کنید که اگر شرطِ $r>0$ و $\theta\in[0,2\pi)$ را بگذارید دیگر از عباراتی چون تقارن نسبت به محورهایِ مختصات قطبی نمی‌توان صحبت کرد و به جای $r$، مقدار $-r$ بگذارید. و توجه کنید که به جای تقارن دادن نسبت به خطِ صفحهٔ قطبیِ $\theta=\pi$ می‌توانید محدودهٔ $[-\pi,\pi)$ را در نظر بگیرید و از همان $\theta\rightarrow -\theta$ استفاده کنید.

Answer 2

فرض کنید منحنی قطبی دارای نمایشی به‌فرم $ F(r,\theta)=0 $ باشد. این منحنی را متقارن نسبت به محور قطبی گویند هرگاه با تبدیل $ (r,\theta) $ به $ \left( (-1)^n r, n\pi-\theta \right) $ برای هر عدد طبیعی $n$، معادله منحنی تغییر نکند و نسبت به محور $ \frac{\pi}{2} $ متقارن گویند هرگاه با تبدیل $ (r, \theta) $ به $ \left((-1)^{n+1} r , n\pi-\theta \right) $ برای هر عدد طبیعی $n$، معادله منحنی تغییر نکند و در نهایت منحنی نسبت به قطب متقارن است اگر با تبدیل $ (r,\theta) $ به $ \left( (-1)^{n+1} r, n\pi+\theta\right) $ برای هر عدد طبیعی $n$، معادله منحنی تغییر نکند.

حال فرض کنید منحنی $ F(r,\theta)=0 $ نسبت به محور قطبی و محور $ \frac{\pi}{2} $ متقارن باشد. نشان می‌دهیم نسبت به قطب هم متقارن است. چون منحنی $ F(r,\theta)=0 $ نسبت به محور قطبی متقارن است، برای هر عدد طبیعی $n_1$ داریم $$ F\left((-1)^{n_1} r, n_1\pi-\theta \right)=0.$$

منحنی اخیر نسبت به محور $\frac{\pi}{2}$ نیز متقارن است، لذا برای هر عدد طبیعی $n_2$ $$F\left((-1)^{n_1}(-1)^{n_2+1}r, n_2\pi-(n_1\pi-\theta) \right)=0$$ یا $$F\left((-1)^{n_1+n_2+1} r, (n_2-n_1)\pi+\theta \right)=0.$$ این همان تقارن نسبت به قطب می‌باشد. بقیه حالت‌ها را می‌توانید به همین روش به‌دست بیاورید.

Comments

@AmirHosein ممنون از یادآوری نکات ارزشمندتون. تغییرات لازم اعمال شد. سپاس.