اگر $ K $ یک میدان باشد آنگاه حلقه ی $ K[x]$ یک قلمرو صحیح است که مشخصه ی آن برابر مشخصه ی میدان $K $ است.
حال میدان $\mathbb Z _{p} $ را درنظر میگیریم لذا حلقه ی $ \mathbb Z _{p}[x]$ جواب سوال است. چون دارای نامتناهی عضو زیر است:
$$1, x, x^{2} , x^{3} ,... \in \mathbb Z _{p}[x]$$
برای اثبات قلمرو صحیح بودن دو عنصر ناصفر را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب آنها نیز ناصفر است.
فرض کنید $f \in \mathbb Z _{p}[x] $ ناصفر و بیشترین توانی از $ x $ که ضریب آن ناصفر است برابر $ n$ باشد یعنی
(جملات با درجه ی کمتر$f=a x^{n} +( $ که $ 0 \neq a \in \mathbb Z _{p}$و بطور مشابه برای عنصر ناصفر دیگر داریم
(جملات با درجه ی کمتر$g=b x^{m} +( $ که $0 \neq b \in \mathbb Z _{p}$
(جملات با درجه ی کمتر$fg=ab x^{n+m} +( $
و چون $\mathbb Z _{p} $ یک میدان است لذا $ ab \neq 0$ پس $ fg \neq 0 $
