به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
215 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

مثالی از قلمرو صحیحی مثل $D$ بیابید که از مرتبه نامتناهی باشد ولی مشخص آن متناهی باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

اگر $ K $ یک میدان باشد آنگاه حلقه ی $ K[x]$ یک قلمرو صحیح است که مشخصه ی آن برابر مشخصه ی میدان $K $ است.

حال میدان $\mathbb Z _{p} $ را درنظر میگیریم لذا حلقه ی $ \mathbb Z _{p}[x]$ جواب سوال است. چون دارای نامتناهی عضو زیر است:

$$1, x, x^{2} , x^{3} ,... \in \mathbb Z _{p}[x]$$

برای اثبات قلمرو صحیح بودن دو عنصر ناصفر را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب آنها نیز ناصفر است.

فرض کنید $f \in \mathbb Z _{p}[x] $ ناصفر و بیشترین توانی از $ x $ که ضریب آن ناصفر است برابر $ n$ باشد یعنی

(جملات با درجه ی کمتر$f=a x^{n} +( $ که $ 0 \neq a \in \mathbb Z _{p}$و بطور مشابه برای عنصر ناصفر دیگر داریم

(جملات با درجه ی کمتر$g=b x^{m} +( $ که $0 \neq b \in \mathbb Z _{p}$

(جملات با درجه ی کمتر$fg=ab x^{n+m} +( $

و چون $\mathbb Z _{p} $ یک میدان است لذا $ ab \neq 0$ پس $ fg \neq 0 $

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...