قلمرو صحیح نامتناهی عضو با مشخص متناهی

Question

مثالی از قلمرو صحیحی مثل $D$ بیابید که از مرتبه نامتناهی باشد ولی مشخص آن متناهی باشد.

Answer 1

اگر $K$ یک میدان باشد آنگاه حلقه ی $K[x]$ یک قلمرو صحیح است که مشخصه ی آن برابر مشخصه ی میدان $K$ است.

حال میدان $\mathbb Z _{p}$ را درنظر میگیریم لذا حلقه ی $\mathbb Z _{p}[x]$ جواب سوال است. چون دارای نامتناهی عضو زیر است:

$$1, x, x^{2} , x^{3} ,... \in \mathbb Z _{p}[x]$$

برای اثبات قلمرو صحیح بودن دو عنصر ناصفر را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب آنها نیز ناصفر است.

فرض کنید $f \in \mathbb Z _{p}[x]$ ناصفر و بیشترین توانی از $x$ که ضریب آن ناصفر است برابر $n$ باشد یعنی

(جملات با درجه ی کمتر$f=a x^{n} +($ که $0 \neq a \in \mathbb Z _{p}$و بطور مشابه برای عنصر ناصفر دیگر داریم

(جملات با درجه ی کمتر$g=b x^{m} +($ که $0 \neq b \in \mathbb Z _{p}$

(جملات با درجه ی کمتر$fg=ab x^{n+m} +($

و چون $\mathbb Z _{p}$ یک میدان است لذا $ab \neq 0$ پس $fg \neq 0$