اثبات باز بودن هرزیرمجموعه ی یک مجموعه باز متناهی

Question

فرض کنیم $(X,d)$ فضایی متریک باشد که شامل یک زیرمجموعه باز متناهی مانند $G$ است.ثابت کنید هر زیرمجموعه $G$ باز می باشد.

Comments

بله درست است.
راه حل من برا حل این سوال این است که به برهان خلف فرض کنیم هر زیرمجموعه $G$ بسته است.چون $G$ متناهی است پس دارای متناهی زیر مجموعه است. از طرفی طبق قضیه ای داریم که اجتماع متناهی مجموعه بسته، مجموعه ای بسته است. این به ما میگویید که $G$ بسته است پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.
میشه لطف کنین بگین درسته یا خیر...!؟

---

فرض خلف را اشتباه نوشتید. سوال گفته "ثابت کنید هر زیر مجموعه ی $G$ باز است". پس فرض خلف می شود "فرض کنید $A\subset G$ باز نباشد." و سپس باید به یک تناقضی برسید. اینکه $G$ بسته است تناقض نیست. چون مجموعه ای می تواند هم باز هم بسته باشد. باید ثابت می کردید $G$ باز نیست که یک تناقض می شد.

---

بله ممنونم

---

اگه با متر القایی درنظر نگیریم این جواب اشتباهه؟

---

جوابی که من دادم ثابت کردیم هر زیرمجموعه ی $G$ مثل $A$ در $G$ باز است. از قضیه ای هم که از قبل خواندید باید بدانید زیرمجموعه باز $U$ در $X$ وجود دارد که $A=G\cap U$ و چون اشتراک متناهی مجموعه باز ، باز است پس $A$ در $X$ باز است.

Answer 1

یک راه حل دیگر با استفاده از تعریف مستقیم مجموعه باز:

فرض کنید $A\subset G$ ونشان می دهیم $A$ باز است.(پس باید نشان دهیم برای هر $x\in A$ یک $r>0$ وجود دارد که $B(x,r)\subset A$)

فرض کنید $A=\{x_1,x_2,\cdots , x_m\}$ و $G=\{x_1, x_2, \cdots , x_m, x_{m+1},\cdots , x_{m+n}\}$

فرض کنید $x_i\in A$($1\leq i\leq m$) در اینصورت $x_i\in G$ و چون $G$ باز است پس $s>0$ ی هست که $B(x_i,s)\subset G$. حال $r>0$ را به صورت زیر در نظر بگیرید:

$$r< \min_{j\neq i}\{d(x_i, x_j), s\}$$ در اینصورت ادعا می کنیم $B(x_i, r)\subset A$.

اولا $B(x_i, r)$ زیر مجموعه ای از $G$ است زیرا $B(x_i, r)\subset B(x_i, s)\subset G$.

دوما $B(x_i, r)=\{x_i\}$ چرا که اگر شامل نقطه ای دیگر بجز $x_i$ باشد(مثلا $x_j$) در اینصورت بنابر انتخاب $r$ داریم

$$d(x_i,x_j)< r< d(x_i, x_j)$$ که تناقض است.

پس ثابت کردیم $B(x_i, r)=\{x_i\}\subset A$ لذا $A$ باز است.