تابعی داده شده. برای یک به یک بودن چه کاری رو انجام می دادیم؟ فرض می کردیم $x,y$ در دامنه باشه و $f(x)=f(y)$. نشون میدادیم که $x=y$.
در اینجا هم فرض می کنیم که $x,y\in A_1$ و $f_1(x)=f_1(y)$. باید ثابت کنیم $x=y$. چون $x,y\in A_1$ و $A_1= \bigcup_{\gamma\in \Gamma } A_\gamma$ بدترین حالت اینه که $x\in A_\gamma$ و $ y\in A_\rho $ چرا که اگر $x,y\in A_\gamma$ اونوقت با توجه به تعریف $f_1$ داریم $f_\gamma(x)=f_\gamma(y)$ و چون $f_\gamma$ یک به یک پس $x=y$. حالا بدترین حالت رو در نظر می گیریم. چون $x\in A_\gamma$ و $ y\in A_\rho $ پس $(A_\gamma,f_\gamma),(A_\rho,f_\rho)\in \chi $ وجود دارند. چون $ \chi $ مرتب کامل پس هر دو عضوش مقایسه پذیرن. پس $ (A_\gamma,f_\gamma)\le(A_\rho,f_\rho) $ یا $(A_\rho,f_\rho)\le(A_\gamma,f_\gamma)$. فرض کنیم $ (A_\gamma,f_\gamma)\le(A_\rho,f_\rho) $ اونوقت طبق تعریف $\le$ داریم
$$ (A_\gamma,f_\gamma)\le(A_\rho,f_\rho) \Longleftrightarrow A_\gamma \subseteq A_\rho,\hspace{0.2cm} f_\gamma \subseteq f_\rho$$
پس $x,y\in A_\rho$ و $f_1(x)=f_\rho(x),f_1(y)=f_\rho(y)$. بنابراین $f_\rho(x)=f_\rho(y)$ و چون $f_\rho$ یک به یک پس $x=y$ و $f_1$ یک به یک می باشد. اگه فرض کنیم $(A_\rho,f_\rho)\le(A_\gamma,f_\gamma)$ باز هم به طور مشابه همین نتیجه به دست میاد.
