برهان مستقیم برای قضیه اصل استقرای ترامتناهی

Question

یک برهان مستقیم برای قضیه اصل استقرای ترامتناهی که به صورت زیر است بیاورید.

قضیه : گیریم $(A , \leq )$ یک مجموعه خوشترتیب است برای هر $x \in A$ گیریم $p(x)$ گزاره ای در بازه x است. اگر برای هر $x \in A$ فرض 《$p(y)$ برای هر $y \prec x$ راست است.》نتیجه دهد که 《$p(x)$ راست است.》آنگاه $p(x)$ برای هر $x \in A$ راست است.

راهنمایی : از قضیه زیر کمک بگیرید

قضیه : گیریم $(A, \leq )$ یک مجموعه خوشترتیب و S یک مجموعه قطعه های A است به قسمی که

۱. هر اجتماع عضوهای $S$ به $S$ متعلق است.

۲.اگر $A_x \in S$ آنگاه $ A_x \cup {x} \in S$

در اینصورت $S$ شامل تمام قطعه های A است.

Comments

حداقل باید صورت قضیه را بنویسید.
https://math.irancircle.com/faq
امکان مطرح کردن چه سوالاتی وجود دارد؟
...از نوشتن عباراتی نظیر " با توجه به نمودار صفحه 16 از کتاب..." یا "بنابر قضیه 1.1 از کتاب..." پرهیز کنید و تمام مفروضات مورد نیاز را بنویسید...

---

@kazomano ‎ در آخر اثبات در واقع پاراگرف آخر براى تمام ايكس ها و واى ها اثبات نشده ولى طبق راهنمايى سوال كه بايد از قضيه ٨ كمك بگيريم در قضيه ٨ گفته شده به ازاى هر عددى كه به جاى اين دو متغير گذاشته بشه بايد برقرار باشه اين قسمت اثبات مشكلى نداره؟

---

@kazomano ‎ و اينكه در پاراگراف اول كه گفته شده اجتماع قطعه ها خود يك قطعه است اين شرط كافى نيست و در قضيه ٨ دو شرط آورده شده كه بايد برقرار باشند تا بتونيم اون نتيجه رو بگيريم

---

@ saragh79
قضیه 8 اون چیزی که میگین رو نمیگه درباره قطعه ها صحبت میکنه و درباره درستی گزاره نیست. در ضمن هر دو شرط رو بررسی کردم و برقرار بودنشون رو نشون دادم.

Answer 1

فرض کنیم $ M $ یک قطعه $ A $ باشد به طوری که $ p(x) $ برای هر $ x \in M $ درست باشد. همچنین فرض کنیم $ \wp $ مجموعه ای از همه چنین قطعه هایی باشند. در این صورت بدیهی است که هر اجتماع عضوهای $ \wp $ به $ \wp $ تعلق دارد (چرا که هر اجتماع قطعه ها یک قطعه است). اگر برای $ M \in \wp $ داشته باشیم $ M=A $ اثبات تمام است چرا که $ A\in \wp $ و برای هر $ x \in A $ گزاره $ p(x) $ درست است. در غیر اینصورت طبق قسمت (ب) قضیه 7 کتاب موردنظر یک عنصر $ x \in A $ وجود دارد به طوری که $ M=A_x $. پس برای $ y< x $ گزاره $ p(x) $ درست است و بنابراین طبق فرض $ p(x) $ درست است یعنی $ A_x \cup \{x\} \in \wp $. پس شرایط قضیه گفته شده در سوال (در قسمت راهنمایی) برقرار است و بنابراین $ \wp $ شامل تمام قطعه های $ A $ به خصوص خود $ A $ است. پس اثبات تمام است.