اگر $A$ مجموعهٔ کلا مرتب و $A_x=\lbrace a\in A\mid a\leq x\rbrace$ آنگاه آیا $A_x=\cup_{y\leq x}A_y$؟

Question

اگر $(A, \leq )$ یک مجموعه کلا مرتب بوده و $a \in A$ باشد، تساوی $A_a = \cup A_y$ (‌که $y \prec a$ ) در حالت کلی برقرار نیست. {$a \in A$ | $a \prec y$} = $A_y$

الف) مثالی بزنید که تساوی فوق برای آن برقرار باشد.

ب) مثالی بزنید که تساوی فوق برای آن برقرار نباشد.

Comments

بله از این به بعد همین کار رو انجام میدم

---

@Raha.k عنوان این پرسش‌تان را برایتان ویرایش کردم. با عنوان قبلی که نوشته بودید مقایسه کنید «پیدا کردن مثال برای برقراری یا عدم برقراری تساوی». برای چند پرسش دیگرتان که دیدگاه گذاشته‌ام نیز عنوان پرسش‌هایتان را تغییر دهید. برای نمونه عنوان قبلی همین پرسش اینجایتان این معنا را دارد که «در حالت کلی برای همهٔ گزاره‌های تساوی‌دار در دنیا از $1=3$ گرفته تا پیچیده‌ترین‌شان، کلا هر چیزی که تساوی دارد، چگونه مثالی بیابم که برقراری یا عدم برقراری آن را نشان دهد! چون جمله‌تان به چیز خاصی اشاره نمی‌کند. در حالیکه در متن پرسش‌تان شما دقیقا یک گزارهٔ تساوی‌دارِ خاص دارید که می‌توانید در عنوان پرسش بیفزائید و سوال‌تان واقعا در مورد هر تساوی‌ای نیست. بعلاوه در جواب به عنوان قبلی‌تان باید گفت که فقط برای رد کردن، می‌توانید از مثال نقض استفاده کنید، برای تأیید کردن نمی‌توانید به یک مثال اکتفا کنید.

Answer 1

الف) مجموعه $(\mathbb{R},\leq)$ رو در نظر بگیرید. فرض کنیم $a\in \mathbb{R}$ دلخواه باشه. ثابت می کنیم

$$A_a=\{x\in \mathbb{R} \quad|\quad x< a\}=\cup_{y< a}A_y.$$

فرض کنیم $z\in\cup_{y< a}A_y$ پس $z< y< a$ و بنابراین $z\in A_a$. فرض کنیم $z\in A_a$ پس $z< a$. قرار می دهیم $y=\frac{z+a}{2}$ در اینصورت $y< a$ و $z\in A_y$ و در نتیجه $z\in\cup_{y< a}A_y$.

ب) مجموعه $(N,\leq)$ رو در نظر بگیرید. $2\in N$ ، $A_2=\{1\}$ و $A_1=\emptyset$. پس $A_2\neq A_1$.