با توجه به شکل و شمایل سوال باید به دنبال عامل انتگرال ساز باشیم. بعد از کمی محاسبه (معادله کامل نیست)
$$ \frac{M_y-N_x}{-M}=-\frac{1}{y} $$
بنابراین عامل انتگرال ساز به صورت زیر است
$$ \mu(y)=e^{\int (-\frac{1}{y})dy}=\frac{1}{y} $$
با ضرب این عامل در طرفین معادله داریم
$$ \bigg[\frac{1}{x}\ln(\ln y)+\frac{2}{3}xy^3\bigg]dx+\bigg[\frac{\ln x}{y\ln y}+x^2y^2\bigg]dy=0 \hspace{0.2cm}*$$
تابع پتانسیل به صورت زیر محاسبه می شود ( از $ N $ نسبت به $ y $ انتگرال گرفته شده است)
$$ \phi (x,y)=\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3 $$
پس * را می توان به صورت زیر نوشت
$$ \frac{\partial}{\partial x}\big[\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3\big]+\bigg(\frac{\partial}{\partial y}[\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3]\bigg)\frac{dy}{dx}=0 $$
با استفاده از قاعده زنجیره ای تساوی بالا را می توان به صورت زیر نوشت
$$ \frac{d}{dx}\big[\ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3\big]=0,\hspace{0.2cm} y=y(x) $$
با انتگرال گیری جواب به صورت زیر محاسبه می شود
$$ \ln x(\ln (\ln y))+\frac{1}{3}x^2y^3=C .$$
