گروه متناهی G و اثبات

Question

فرض کنید Gیک گروه متناهی است.نشان دهید تعداد فردی عضو مانند xوجود دارد،به طوری که $x^3=e$ .هم چنین نشان دهید تعداد زوجی عضو مانندx وجود دارد،به طوری که$ x^2=e $نباشد (یعنی مخالف e باشد).

Answer 1

فرض کنید $A=\lbrace x\in G: \ x^3=e\rbrace\backslash\lbrace e\rbrace$ و $T=\lbrace \lbrace x,x^2\rbrace:\ x\in A\rbrace$. در این صورت عناصر $T$ دقیقا دوعضوی هستند. از طرفی اگر دوعضو از $T$ با هم اشتراک داشته باشند، با هم برابر میشوند. حال اگر دقت کنیم $A$ مساوی اجتماع تمام عناصر $T$ است. ولی عناصر $T$ دو عضوی هستند. پس تعداد عناصر $A$ زوج میشود.

فرض کنیم $B=\lbrace x\in G:\ x^2\ne e\rbrace $. پس $B=\lbrace x\in G:\ x\ne x^{-1}\rbrace $. همچنین $$B=\cup\left \lbrace \lbrace x,x^{-1}\rbrace :\ x\ne x^{-1} \right\rbrace $$ و این نتیجه میدهد تعداد اعضای $B$ زوج است.