فرض کنید که مجموعه ای با نام pداریم که:
$p=\lbrace a\in\mathbb{N}\mid a \text{ prime} \rbrace$
میدانیم که این مجموعه شماراست چون هم زیر مجموعه ی اعداد طبیعی است و هم نامتناهی( طبق قضیه ی اقلیدس).
حال مجموعه ی توانی این مجموعه را مینویسیم.
$ \rho (p)= \{ \{5,2\} ، \{3,5\}، \{7\} ,...\} $
حال مجموعه ی جدیدی را با نام tتعریف میکنیم.
$ t=\{10,15,7،...\} $
حال پرسش پیش میاید که tبا مجموعه ی توانی pچه ارتباطی دارد.
اگر اعضای هر عضو مجموعه توانی pرا در هم ضرب کنیم و مقابلش بنویسیم به مجموعه ی tدست خواهیم یافت.
در عین حال میدانیم که tهیچ عضو تکراری ای ندارد چون هر عدد فقط یک جور شمارنده ی اول دارد.
در عین حال هم میدانیم tفقط شامل اعداد طبیعی است.پس tصد در صد یا زیر مجموعه ی اعداد طبیعی است یا خود مجموعه ی اعداد طبیعی.ولی میدانیم که اعدادی مثل ۲۴ و ۱۸ و ۱۶ و... از ضرب اعداد اول متمایز و غیر تکراری به دست نمی آیند.پس این اعداد عضو t نیستند. که یعنی tزیر مجموعه ای نامتناهی از اعداد طبیعی است که یعنی tشماراست.این یعنی مجموعه توانی مجموعه ی pهم که با tهم ارز بود،شماراست.ولی مشکل اینجاست که طبق قضیه ی کانتور یک مجموعه و مجموعه ی توانی اش نمیتوانند هم ارز باشند. میخواستم که غلط های این اثبات رابگویید
