حاصل $x+z$ را با فرض $x^2+z^2=2$، $z^2+y^2=4$، $z^2+w^2=36$ و $y+w=2(x+z)$ و تمامی این متغیرها حقیقی مثبت هستند بیابید.

Question

بفرض $x$ و $y$ و $z$ و $w$ عددهایی حقیقی مثبت باشند. با توجه به دستگاه معادلات زیر حاصل $x+z$ را بیابید.

\begin{align} & x^2+z^2=2\\ & z^2+y^2=4\\ & z^2+w^2=36\\ & y+w=2(x+z) \end{align}

Comments

@Ramtin درواقع در حال حل یک مسئله هندسه بودم که با فیثاغورث حل می کردم. هر یک از مجهولات بالا  اندازه یک ضلع است.

Answer 1

سلام و عرض احترام،

می‌دانیم که

$ x^2 + z^2 = 2$

در نتیجه :

$x, z < \sqrt{2} $

از طرفی می‌دانیم که

$ z^2 + y^2 = 4$

درنتیجه :

$ \sqrt{2} < y $ *

همچنین طبق استدلال های بالا :

$ 4\sqrt{2} < w $ **

آنگاه :

$ x < \sqrt{2} $

$ z < \sqrt{2} $

$————$

$2(x + z) < 4 \sqrt{2} $

$\Longrightarrow y + w < 4 \sqrt{2} $ @

از طرفی طبق * و ** داریم :

$\sqrt{2} < y $

$ 4\sqrt{2} < w$

$————$

$\Longrightarrow 5 \sqrt{2} < y +w $ #

که گزاره های @ و # در تناقض هستند و دستگاه جواب منحصر بفردی ندارد.

Comments

تشکر از این که ثابت کردید که جواب ندارد.