در پست زیر تعاریف گفته شده و توضیح داده شده است:
https://math.irancircle.com/12050
مثال: فرض کنید $\mathbb{R^2}$
را با رابطه زیر به یک مجموعه جزئا مرتب تبدیل کرده ایم.
$$(x,y) \preceq (z,t) \ \ \Longleftrightarrow \ \ x< z \ \ \text{یا} \ \ \ (x=z\ \text{و}\ y\le t)$$
حال زیرمجموعههای زیر را در نظر بگیرید:
$$\begin{split}&A_1=\lbrace (x,y):x\le 7.5 \rbrace \\ & A_2=
\lbrace (x,y):x< 7.5 \rbrace \\ & A_3=\lbrace (x,y):x\le 7.5 \rbrace \cup\lbrace(8,1)\rbrace \\&
A_4=\lbrace (x,y):x\le 7.5 \rbrace \cup\lbrace(8,1),(8,3)\rbrace
\\&A_5=\mathbb{R}\backslash\lbrace 0\rbrace \times \lbrace 0\rbrace
\end{split}$$
حال داریم:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\text{ماکسیمم این مجموعه}
&
\text{ماکسیمالهای این مجموعه}
&
\text{کرانهای بالای این مجموعه }
& . \\ \hline
ندارد &
\text{ندارد}&
\lbrace (x,y): x>7.5\rbrace
&A_1 \\
\hline
ندارد&ندارد&
\text{هر زوج مرتبی که طولش بیشتر یا مساوی ۷.۵ است.
}
&A_2 \\ \hline
(8,1)
&
(8,1)
&
\lbrace (x,y):x> 8\rbrace \cup \lbrace (8,y):y\ge 1\rbrace
&A_3\\ \hline
(8,3)&
(8,3)
&
\lbrace (x,y):x> 8\rbrace \cup \lbrace (8,y):y\ge 3\rbrace
&A_4\\ \hline
ندارد&ندارد&ندارد&A_5
\end{array}$$
