فاکتور گرفتن از x در $ \left(\sqrt[n]{\left(x+a_{1}\right)\left(x+a_{2}\right) \cdots\left(x+a_{n}\right)}\right)$

Question

من این تساوی رو متوجه نمیشم لطفا برام توضیح بدید:

$ \left(\sqrt[n]{\left(x+a_{1}\right)\left(x+a_{2}\right) \cdots\left(x+a_{n}\right)}\right)$ = $ \left(\sqrt[n]{x^{n}+\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) x^{n-1}+\cdots}\right.$

در ضمن میتونید برای تبدیل عکس به فرمول از این سایت کمک بگیرید:

https://mathpix.com/

Comments

شما باید تعمیم اتحاد جمله مشترک را بدانید.

Answer 1

تعمیم اتحاد جمله مشترک:

$(x+ x_{1})(x+ x_{2})...(x+ x_{n})=$$x^{n}+x^{n-1}( x_{1}+ x_{2} +...+x_{n} )+...+ x_{1}x_{2}...x _{n}$

اگر دقت کنید ضریب x در جمله ی دوم حاصل جمع جملات نامشترک و در جمله بعدی حاصل جمع ضرب دو تایی های نامشترک و تا که برسیم به جمله ی آخر که می شود حاصل ضرب تمام جملات نامشترک. یعنی ضریب

$ x^{n-k} $

در سمت راست برابر است با مجموع تمام حاصل ضرب k تایی جملات نامشترک.

Answer 2

بله با تعمیم اتحاد جمله مشترک حل میشه. هدف در این سوال این بود که به این وسیله حد این عبارت با هم ارزی رادیکال ها ساده بشه. ~ $ \sqrt[n]{a} (x + \frac{b}{na}) $

Answer 3

ظاهراً چون فرجه رادیکال در دو طرف معادله بدون تغییره، مشکل باید داخل رادیکال باشه. سمت چپ معادله را با نرم افزارهای مختلف بصورت زیر امتحان کردم.

$$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(x+a_i)}$$

تا $n =3 $ بیشتر جواب نمیده و گرافش را هم بصورت خط مورب از ناحیه ۳ به ناحیه ۱ نشون میده. ولی ساده ترین شکل معادله همان عبارت تجزیه شده سمت چپ معادله است و سمت راست، شکل گسترش یافته سمت چپ معادله برحسب توانهای نزولی $x$ از $n$ تا صفر است. آن هم بشکل زیر

$x^{n}+ x^{n-1}$(مجموع همه عوامل غیر مشترک)+$x^{n-2}$(مجموع حاصلضربهای غیرتکراری دوبدو عوامل غیرمشترک)+$x^{n-3}$(مجموع حاصلضربهای غیرتکرای سه به سه عوامل غیرمشترک)+ . . . +$ x^{0} (a_{1} \times a_{2}. . . a_{n})$

با توجه به اینکه در جمله آخر گسترش فوق $x$ حضور ندارد، کل عبارت قابل فاکتورگیری از $x$ نیست. نکته مهم اینکه در تمام جملات، مجموع توان حاصلضرب تک تک جملات داخل پرانتزها باضافه توان $x$ همیشه مساوی $n$ است.

Comments

@ناصرـآهنگرپور عبارتی که عکس گذاشتید را با خود سایت می‌توانید تایپ ریاضی کنید. از تصویر تنها برای شکل‌ها استفاده کنید.
و متوجه نمی‌شوم چه چیزی فقط تا $n=3$ بیشتر جواب نمی‌دهد؟ جواب چه چیزی؟

---

@AmirHosein بادرود مجدد: با mathjax تازه آشنا شدم و علامت ضرب دنباله ها با مقادیر $i$ را پیدانکردم. چون تعداد جملات زیررادیکال و فرجه مساوی $n$ است و $a_{i}$ ها تا $n$ ادامه داره، بشکل فوق امتحان کردم. و نرم افزار microsoft mathsolver اندرویدی حتی در سایتش هم برای $n  > 3$ خطا میده. با mathcad تحت ویندوز فقط گسترش عبارت فوق را ارائه میدهد. با graphing calculator که mathlab اندرویدی محسوب میشه، فقط گسترش عبارت رو میده. اون هم با عوامل غیرمشترک محدود $a_{i}$ ها. اگر برای تایپ مجموع و ضرب دنباله ها با مقادیر متناهی آموزشی با mathjax وجود داره از راهنماییتون ممنون میشم.

---

@ناصرـآهنگرپور دستوری که می‌نویسید و نرم‌افزار به شما اشکال می‌گیرد را بنویسید تا ببینیم چه مشکلی دارد و شما در حال محاسبهٔ چه چیزی هستید. با نرم‌افزار Matlab با سه خط زیر می‌توانید حاصلضرب زیر رادیکال را بر حسب $x$ مرتب کنید. اینجا برای $n=5$ نوشتم که به سادگی خودتان برای $n$ متفاوت را نیز می‌توانید بنویسید.
syms x a1 a2 a3 a4 a5;
p=(x+a1)*(x+a2)*(x+a3)*(x+a4)*(x+a5);
collect(p,x)
که خروجی‌اش به شکل زیر می‌شود.
x^5 + (a1 + a2 + a3 + a4 + a5)*x^4 + (a1*a2 + a4*(a1 + a2 + a3) + a5*(a1 + a2 + a3 + a4) + a3*(a1 + a2))*x^3 + (a4*(a1*a2 + a3*(a1 + a2)) + a5*(a1*a2 + a4*(a1 + a2 + a3) + a3*(a1 + a2)) + a1*a2*a3)*x^2 + (a5*(a4*(a1*a2 + a3*(a1 + a2)) + a1*a2*a3) + a1*a2*a3*a4)*x + a1*a2*a3*a4*a5

---

@AmirHosein بادرود: در mathlab اندرویدی سمت چپ معادله را بشکلی که در پاسخ بنده تصحیح کردید، با n=5 وارد کردم. گسترش اونو به همون شکلی که ارائه نمودید نشون میده. ولی برای حالت کلی تا $a_{n}$ جواب نمیده. در microsoft math solver اندرویدی هم تصویر همین دنباله ضربی را قرار دادم و جواب داد نمیتونه دنباله ضربی فوق را محاسبه یا ساده سازی کنه. حتی در سایت رسمی خودش!

---

@ناصرـآهنگرپور برای حالت کلی یعنی برای هر $n$ای که انتخاب کنید که اگر مقدار $n$ را هر عددی بدهید انجام می‌دهد مگر اینکه محدودیت حافظه‌ای پیش بیاید و خروجی شروع کند از یک حدی طولانی‌تر شدن. قبلا گفتید تا ۳، الآن ۵ هم شد. عدد دیگر بدهید مانند ۷ یا غیره، باز هم خروجی می‌دهد. مگر اینکه منظورتان این باشد که $n$ را مجهول به آن بدهید. در اینصورت باید فکر کنید که شما با رایانه کار می‌کنید نه انسان وقتی $n$ عدد خاصی نیست دقیقا انتظار دارید چه چیزی نشان‌تان بدهد؟ عبارت سه‌نقطه‌دار؟ در برنامه‌نویسی‌ای که برای Matlab انجام شده است چنین چیزی مد نظر نبوده‌است بنابراین انتظار دیدن چنین چیزی هم نباید داشته باشید. شاید بعدها با کمک هوش مصنوعی قابلیت استنتاج و نتیجه‌گیری به نرم‌افزار افزوده شود ولی برای الآن انتظار عبارت سه‌نقطه‌دار نداشته‌باشید.