بنام خدا.طبق شکل داریم 
$$AP^2=(3OP)^2=9OP^2
$$طبق خاصیت میانه هاوچون مثلث OBC قائم الزاویه است میانه وارد بر وتر نصف وتراست یعنی
$$AP^2=9OP^2=9( \frac{1}{2}BC)^2= \frac{9}{4} BC^2= \frac{9}{4} (2MN)^2=9MN^2=
$$
$$9(OM^2+ON^2)=9{( \frac{1}{3} MC)^2+9( \frac{1}{3} NB)^2}=MC^2+NB^2$$
بنابراین داریم: $$AP^2=MC^2+NB^2$$
