Question

ثابت کنید اگر در مثلث دو میانه بر هم عمود باشند، میانه سوم وتر مثلث قائم الزاویه ای است که دو میانه دیگر، دوضلع مجاورش باشند.

Answer 1

بنام خدا.طبق شکل داریم $$AP^2=(3OP)^2=9OP^2 $$طبق خاصیت میانه هاوچون مثلث OBC قائم الزاویه است میانه وارد بر وتر نصف وتراست یعنی

$$AP^2=9OP^2=9( \frac{1}{2}BC)^2= \frac{9}{4} BC^2= \frac{9}{4} (2MN)^2=9MN^2= $$

$$9(OM^2+ON^2)=9{( \frac{1}{3} MC)^2+9( \frac{1}{3} NB)^2}=MC^2+NB^2$$

بنابراین داریم: $$AP^2=MC^2+NB^2$$