ثابت کنید که اشتراک یک زیرمجموعه باز و چگال با یک زیرمجموعه چگال دیگر دوباره مجموعه ای چگال است.

Question

ثابت کنید که اشتراک یک زیرمجموعهٔ باز و چگال با یک زیرمجموعهٔ چگال مجموعه‌ای چگال است. (راهنمایی: اگر $(X,d)$ فضایی متریک، $G$ زیرمجموعه‌ای باز و $A$ زیرمجموعهٔ دلخواهی از $X$ باشند ثابت کنید که داریم $\overline{G \bigcap A} = \overline{G \bigcap \overline{A}}$ ).

Comments

@negar-a یک بار متنی که می‌نویسید را از نو بخوانید. در متن پرسش یک جملهٔ خبری نوشته‌اید و یک پرانتز برای توضیحی که پرانتزش بسته نشده است. به ویرایشی که برایتان انجام دادم نگاه کنید. اگر انتظار دارید سایر کاربران برای پرسش‌تان زمان صرف کنند، ابتدا باید خودتان برای پرسش‌تان زمان صرف کنید. یک نوشتن درست و همینطور اشاره به تلاش خودتان مسلما زمان ناچیزی در مقابل زمانی که کاربران دیگر برای پاسخ دادن به پرسش‌ شما صرف خواهند کرد نیاز دارد.

Answer 1

پرسش شما خیلی ساده است و نیاز به اثبات لم یا چیزی برای حلش هم نیست. فرض کنید $A_1$ و $A_2$ دو مجموعهٔ چگال از فضای توپولوژیک (یا متریک) -ِمان هستند که مجموعهٔ $A_1$ علاوه بر چگال بودن باز هم هست. اکنون می‌خواهیم نشان دهیم که $A_1\cap A_2$ نیز مجموعه‌ای چگال است. چگال بودن به چه معنا بود؟ به این معنا بود که هر مجموعهٔ بازِ ناتهی‌ای که بردارید اشتراکش با مجموعهٔ مورد نظر ناتهی باشد. پس فرض کنید $U$ یک مجموعهٔ باز ناتهی باشد. باید نشان دهیم که $(A_1\cap A_2)\cap U$ ناتهی است. اما به یاد داشته باشید که اشتراک شرکت‌پذیر و جابجایی است پس این عبارت را می‌توان $A_2\cap(A_1\cap U)$ نیز نوشت. چون $A_1$ چگال و $U$ باز ناتهی است، پس $A_1\cap U$ ناتهی است. از طرفی چون $A_1$ و $U$ هر دو باز هستند پس $A_1\cap U$ نیز باز است (اشتراک متناهی باز، باز است). پس $A_1\cap U$ یک مجموعهٔ باز ناتهی است، چون $A_2$ چگال است پس اشتراکش با این بازِ ناتهی باید ناتهی شود یعنی $A_2\cap(A_1\cap U)$ ناتهی است. پس حکم ثابت شد.