معادلهٔ $i z^3+8=0$ را بر روی اعداد مختلط حل کنید.

Question

چگونه باید معادله‌های مختلط را حل کرد؟ برای نمونه معادلهٔ $i z^3+8=0$ را بر روی اعداد مختلط حل کنید (منظور از $i$ عدد موهومی است).

Comments

به محفل ریاضی خوش آمدید.
فرمول ها را باید بین دو علامت دلار بنویسید.(ویرایش بزنید تا تغییراتی که من انجام دادم ببینید)
در ضمن باید یک سوال بپرسید نه چند سوال. بهتر بود یکی از معادلات را می پرسیدید و میگفتید چه زحمتی برای حل آن کشیدید ولی نتوانستید حل کنید.
اگر سوالات بیشتری دارید برای هر کدام جداگانه پرسشی ایجاد کنید.

Answer 1

سوال 1: گیریم $ z=a+bi$، پس

\begin{align} i(a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i)+8 &= 0\Longrightarrow\\ (8-3a^2b+b^3)+(a^3-3ab^2)i &=0\Longrightarrow\\ (8-3a^2b+b^3)=(a^3-3ab^2) &=0\\ \end{align}

پس $a(a^2-3b^2)=0$ که در نتیجه $a=0$ یا $a=\pm\sqrt{3}b$.

اگر $a=0$ آنگاه $b=-2$ لذا $z=-2i$.

و اگر $a=\pm\sqrt{3}b$ آنگاه $b=1$ و لذا $a=\pm\sqrt{3}$ و $z=\pm\sqrt{3}+i$.

Comments

خیلی ممنون لطف کردین