به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
1,234 بازدید
در دانشگاه توسط ryhn (16 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $A=(-\sqrt{5},\sqrt{5}]\cap\mathbb{Q}$. دراین صورت کدام گزینه درست است؟ (با توضیح و اثبات)

  1. $\sup(A)\in A$
  2. $\inf(A)\in A$
  3. $A$ سوپریممی در $\mathbb{R}$ ندارد.
  4. $A$ اینفیممی در $\mathbb{R}$ دارد.
توسط AmirHosein (19,734 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@ryhn عنوان با برچسب تفاوت دارد. عنوان مناسب عنوانی است که پرسش را در یک خط می‌گوید نه اسم مبحث و اینکه چه مفهوم‌هایی در پرسش دیده می‌شوند. پست زیر را بخوانید و به ویرایشی که انجام دادم توجه کنید.
https://math.irancircle.com/11973
توسط ryhn (16 امتیاز)
–1
ممنون ولی گزینه ۴ هست : A دارای اینفیمم است.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (19,734 امتیاز)

توجه کنید که هر زیرمجموعهٔ ناتهیِ از پائین‌کراندارِ $\mathbb{R}$ دارای $\inf$ (بزرگترین کران پائین) است. همینطور هر زیرمجموعهٔ ناتهیِ از بالاکراندارِ $\mathbb{R}$ دارای $\sup$ (کوچکترین کران بالا) است. مجموعهٔ $A$-ِ شما نیز ناتهی است برای نمونه صفر عضو آن است. از هر دو سمت نیز کراندار است، برای نمونه خودِ $\sqrt{5}$ یک کران بالای حقیقی برایش است، چون هیچ عددی بزرگتر از آن عضو $A$ نیست و همینطور $-\sqrt{5}$ یک کران پائین حقیقی برای $A$ است. پس گزینهٔ جیم نادرست و گزینهٔ دال درست است. اما چرا الف و ب درست نیستند؟ توجه کنید که $\inf(A)=-\sqrt{5}$ و $\sup(A)=\sqrt{5}$ که هر دو گنگ هستند (گویا نیستند) در حالیکه عضوهای $A$ همگی گویا هستند، پس هیچ یک از $\inf$ و $\sup$ آن عضو خودش نیستند.

ریاضیدان، کسی است که شباهت ها را بین قضایا دریابد. ریاضیدان بهتر کسی است که بتواند شباهت بین برهان ها را ببیند. بهترین ریاضیدان کسی است که بتواند به شباهت بین نظریه ها توجه کند. و می توان تصور کرد که ریاضیدان نهایی کسی است که بتواند شباهت بین شباهت ها را مشاهده کند.
...