به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
91 بازدید
در دانشگاه توسط ryhn (18 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $A=(-\sqrt{5},\sqrt{5}]\cap\mathbb{Q}$. دراین صورت کدام گزینه درست است؟ (با توضیح و اثبات)

  1. $\sup(A)\in A$
  2. $\inf(A)\in A$
  3. $A$ سوپریممی در $\mathbb{R}$ ندارد.
  4. $A$ اینفیممی در $\mathbb{R}$ دارد.
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@ryhn عنوان با برچسب تفاوت دارد. عنوان مناسب عنوانی است که پرسش را در یک خط می‌گوید نه اسم مبحث و اینکه چه مفهوم‌هایی در پرسش دیده می‌شوند. پست زیر را بخوانید و به ویرایشی که انجام دادم توجه کنید.
https://math.irancircle.com/11973
توسط ryhn (18 امتیاز)
–1
ممنون ولی گزینه ۴ هست : A دارای اینفیمم است.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)

توجه کنید که هر زیرمجموعهٔ ناتهیِ از پائین‌کراندارِ $\mathbb{R}$ دارای $\inf$ (بزرگترین کران پائین) است. همینطور هر زیرمجموعهٔ ناتهیِ از بالاکراندارِ $\mathbb{R}$ دارای $\sup$ (کوچکترین کران بالا) است. مجموعهٔ $A$-ِ شما نیز ناتهی است برای نمونه صفر عضو آن است. از هر دو سمت نیز کراندار است، برای نمونه خودِ $\sqrt{5}$ یک کران بالای حقیقی برایش است، چون هیچ عددی بزرگتر از آن عضو $A$ نیست و همینطور $-\sqrt{5}$ یک کران پائین حقیقی برای $A$ است. پس گزینهٔ جیم نادرست و گزینهٔ دال درست است. اما چرا الف و ب درست نیستند؟ توجه کنید که $\inf(A)=-\sqrt{5}$ و $\sup(A)=\sqrt{5}$ که هر دو گنگ هستند (گویا نیستند) در حالیکه عضوهای $A$ همگی گویا هستند، پس هیچ یک از $\inf$ و $\sup$ آن عضو خودش نیستند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...