المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$17$

Question

مجموعه ی $S$ را مجموعه ی همه ی اعداد حقیقی مثل $a$ می گیریم که برای آنها اعداد حقیقی $x$ و $y$ موجود باشند به گونه ای که:

$$a(a-1) +x(x-1) +y(y-1)= \frac{3}{2}$$

می دانیم که $S$ یک بازه است. طول این بازه چقدر است؟

Answer 1

جواب میشه 3. با استفاده از مربع کامل کردن داریم:

$$(a- \frac{1}{2})^{2} + (x- \frac{1}{2})^{2} + (y- \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4}$$ .

که معادله یه کره به مرکز $(1/2 , 1/2, 1/2)$ و شعاع $3/2$ است. لذا اندازه مجموعه $S$ با قرار دادن $x=1/2$ و $y=1/2$ داریم:

$$(a- \frac{1}{2})^{2}= \frac{9}{4}$$ فلذا $a=2$ یا $a=-1$. بنابراین $|S|=3$.