المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$17$

Question

مجموعه ی $ S$ را مجموعه ی همه ی اعداد حقیقی مثل $ a $ می گیریم که برای آنها اعداد حقیقی $x $ و $ y$ موجود باشند به گونه ای که:

$$ a(a-1) +x(x-1) +y(y-1)= \frac{3}{2} $$

می دانیم که $ S $ یک بازه است. طول این بازه چقدر است؟

Answer 1

جواب میشه 3. با استفاده از مربع کامل کردن داریم:

$$(a- \frac{1}{2})^{2} + (x- \frac{1}{2})^{2} + (y- \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4} $$ .

که معادله یه کره به مرکز $ (1/2 , 1/2, 1/2) $ و شعاع $ 3/2 $ است. لذا اندازه مجموعه $ S $ با قرار دادن $ x=1/2 $ و $y=1/2 $ داریم:

$$ (a- \frac{1}{2})^{2}= \frac{9}{4} $$ فلذا $a=2 $ یا $ a=-1 $. بنابراین $|S|=3 $.