المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$22$

Question

چند چهارتایی مرتب $ (x,y,z,t) $ ار اعداد حقیقی یافت می شود که در معادلات زیر صدق کند؟ $$ \begin{cases} xy+yz+zx=t^2\\ yz+zt+ty=x^2\\ zt+tx+xz=y^2\\ tx+xy+yt=z^2 \end{cases} $$

1. $1$
2. $5$
3. $9$
4. $25$
5. بینهایت

Comments

چرا گزینه های 2و4 هر دوتاشون یکی هستن؟

---

درستش کردم

Answer 1

جواب میشه1. داریم:

$$x^{2}-t^{2}=(t-x)(z+y) $$

همچنین:

$$y^{2} + z^{2}=(z+y)(x+t)+2tx $$.

لذا با ضرب طرفین معادله اول در $ (x+z) $ داریم:

$$ -(x+t)^{2}= y^{2}+ z^{2}-2tx $$ $$ \Rightarrow y^{2}+ z^{2}=-x^{2}-t^{2} $$

که چون طرف چپ معادله همواره نامنفی و طرف راست، همواره نامثبت است. لذا تنها زمانی معادله جواب دارد که $$ t=x=y=z=0$$.