المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$22$

Question

چند چهارتایی مرتب $(x,y,z,t)$ ار اعداد حقیقی یافت می شود که در معادلات زیر صدق کند؟ $$\begin{cases} xy+yz+zx=t^2\\ yz+zt+ty=x^2\\ zt+tx+xz=y^2\\ tx+xy+yt=z^2 \end{cases}$$

1. $1$
2. $5$
3. $9$
4. $25$
5. بینهایت

Comments

چرا گزینه های 2و4 هر دوتاشون یکی هستن؟

---

درستش کردم

Answer 1

جواب میشه1. داریم:

$$x^{2}-t^{2}=(t-x)(z+y)$$

همچنین:

$$y^{2} + z^{2}=(z+y)(x+t)+2tx$$ .

لذا با ضرب طرفین معادله اول در $(x+z)$ داریم:

$$-(x+t)^{2}= y^{2}+ z^{2}-2tx$$ $$\Rightarrow y^{2}+ z^{2}=-x^{2}-t^{2}$$

که چون طرف چپ معادله همواره نامنفی و طرف راست، همواره نامثبت است. لذا تنها زمانی معادله جواب دارد که $$t=x=y=z=0$$ .