المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$11$

Question

در مورد اعداد زیر کدام گزینه درست است؟

$c= 2^{2^{ 2^{2^{2} } } }$ , $b= 2^{100}$ ، $a=100!$

1) $b < a < c$

2) $a < b < c$

3) $c < a < b$

4) $b < c < a$

5) $a < c < b$

Answer 1

واضح است که $c=2^{2^{16}}$ و چون $2^{16}>100$ لذا $b< c$

از طرفی تعدادعوامل $2$ در $100!$ برابر است با

$$[100/2]+[100/2^2]+[100/2^3]+...=97$$ ولی چون عوامل دیگری مانند $3$ و $5$ در $100!$ وجود دارند بنابراین واضح است که $a>b$

لذا باید اعداد $a$ و $c$ را با هم مقایسه کنیم:

$$\begin{align} c=2^{2^{16}}=(2^{2^6})^{2^{10}}&=(2^{64})^{1024}\\ &>100\times99\times...\times2\times 1\\ &=100!=a \end{align}$$

یعنی گزینه‌ی 1 درست است: $b< a< c$