به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
204 بازدید
در دبیرستان توسط erfanm (12,314 امتیاز)

وزارت نفت کانالی بين بوشهر و ايلام حفر کرده است و قصد دارد لولة انتقال گازی را در آن قرار دهد. سطح مقطع لوله دايره و سطح مقطع کانال به شکل قسمتی از یک سهمی است.(سهمی نمودار یک چند جمله ای درجه دوم است.)اگر عرض و عمق کانال برابر $1$ متر باشد، قطر بزرگترین لوله ای که می توان در کانال قرار داد بطوری که با پایین ترین نقطه ی کانال تماس داشته باشد، چند سانتی متر است؟

enter image description here

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط zh (1,084 امتیاز)
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

مربعی به طول ضبع 1 را در نظر میگیریم و شکل زیر را طبق صورت مسئله در نظر میگیریم:

enter image description here

مطابق فرض مسئله، کانال به صورت سهمی است و مطابق شکل نقاط $(0,0), ( \frac{1}{2}, 1), (\frac{-1}{2}, 1) $ روی این سهمی قرار دارند. لذا اگر فرض کنیم که معادله سهمی به صورت

$$ y=a x^{2} $$

باشد آنگاه داریم:

$$ 1=a( \frac{1}{2})^{2} \longrightarrow a=4 $$

لذا معادله سهمی به صورت

$$y=4x^{2} $$

است. از طرفی دایره در مرکز بر این سهمی مماس است، پس معادله این دایره میتواند به صورت زیر باشد

$$ x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$$

بنابراین با جایگذاری معادله اول در دوم داریم:

$$ \frac{y}{4} + y^{2}-2ry=0 $$

با مشتق گیری $ r$ بر حسب $ y $ داریم:

$$ \frac{dr}{dy}=0 \longrightarrow r=y+ \frac{1}{8} $$

لذا داریم:

$$\frac{y}{4} + y^{2}-2ry=\frac{y}{4} + y^{2}-2(y+ \frac{1}{8} )y=0 \longrightarrow y=0 \vee y= \frac{-1}{2} $$ $$ \Longrightarrow $$ $$r= \frac{1}{8} \vee r=- \frac{3}{8} $$

که دایره به شعاع $ r=-3/8$ خارج این سهمی است لذا ماکسیمم برابر با $r=1/8 $ است.

توسط fardina (15,063 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
+1
آخر سر $r$ نمیتونه منفی باشه دیگه. چون طول شعاعه.
توسط zh (1,084 امتیاز)
+2
تو حالتی که شما میگین اگه از معادله اول مشتق بگیریم ماکسیمم بدست میاد. ولی معادله دارای سه متغییر هستش چه جوری از این راه ماکسیمم بدست میاد؟؟
توسط zh (1,084 امتیاز)
+2
کاری با منفی بودن r نداریم در حقیقت مقدار r هستش که موقعیت دایره و سهمی رو تعیین میکنه
توسط erfanm (12,314 امتیاز)
+1
چرا  $y=4 x^{2}  $  رو تو معادله دایره جایگذاری میکنیم.
$y$ تو معادله دایره با $y$ تو معادله سهمی فرق دارند فقط در یک نقطه اونم مبدا برابر می شوند.
توسط zh (1,084 امتیاز)
+2
درسته که فقط تو یه نقطه با هم برخورد دارند ولی چون دایره و سهمی در وضعیتی قرار دارن که بیشینه شعاع دایره رو سهمی تعیین میکنه، معادله سهمی رو تو دایره قرار دادم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...