المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$24$

Question

پهلوان پوريای ولی از ياور خواسته که $9$ ميل زورخانه را از نقاطی که با دايرة توخالی نمايش داده شده به نقاطی که با دایره توپر نمایش داده شده ببرد. به نحوی که مجموع فواصل $9$جفت نقطه ابتدایی و انتهایی، بیشترین مقدار ممکن شود(دقت کنید که در هر نقطه یک میل قرار می گیرد) در اینصورت میله های الف، ب و ج به ترتیب باید به کدام نقاط انتقال داده شوند؟

1. $2,3,5$
2. $8,7,5$
3. $8,7,9$
4. $4,7,5$
5. نمی توان تعیین کرد

Comments

من منظور این سوالو نمی فهمم اینکه "مجموع فواصل 9جفت نقطه ابتدایی و انتهایی، بیشترین مقدار ممکن شود"؟؟؟

---

راستش خودمم متوجه نشدم!

Answer 1

ﻟﻢ: ﺩﺭ ﻫﺮ ﭼﻬﺎﺭ ﺿﻠﻌﯽ ﻣﺤﺪﺏ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺍﺯ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻃﻮﻝ ﺩﻭ ﺿﻠﻊ ﺭﻭﺑﺮﻭ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺍﺳﺖ. ﺍﺩﻋﺎ ﻣﯽﮐﻨﻴﻢ ﺍﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻓﻮﺍﺻﻞ ۹ ﺯﻭﺝ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺷﻮﺩ، ﺑﺎﻳﺪ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺴﻴﺮﯼ ﺑﻴﻦ D ﺑﻪ C ﻭ ﻣﻴﻞﻧﻘﻄﻪ B ﺑﻪ A ﻧﻘﺎﻁ ﺍﺑﺘﺪﺍﻳﯽ ﻭ ﺍﻧﺘﻬﺎﻳﯽ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ ﺭﺍ ﻗﻄﻊ ﮐﻨﻨﺪ. ﺯﻳﺮﺍ ﺍﮔﺮ ﻣﻴﻞ ﻧﻘﻄﻪ ﻭ ﻣﻴﻞ ﻧﻘﻄﻪ D ﺑﻪ A ﺑﺮﺧﻮﺭﺩ ﻧﺪﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﻃﺒﻖ ﻟﻢ ﺑﺎﻻ ﺑﺎ ﺑﺮﺩﻥ ﻣﻴﻞ ﻧﻘﻄﻪ CD ﻭ AB ﺑﺮﻭﺩﻭ ﻣﺴﻴﺮ ﺑﻴﺸﺘﺮﯼ ﻃﯽﻣﯽﺷﻮﺩ. ﺣﺎﻝ ﺑﻪ ﻣﻴﻞ ﻧﻘﻄﻪ ﺏﺩﺭ ﺻﻮﺭﺕ ﺳﻮﺍﻝ ﻧﮕﺎﻩ ﮐﻨﻴﺪ. ﺍﻳﻦ B ﺑﻪ C ﻣﻴﻞ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪﺍﯼ ۷ ﻣﯽﺗﻮﺍﻧﺪ ﻣﻨﺘﻘﻞ ﺷﻮﺩ ﺗﺎ ﺑﺎ ﺗﻤﺎﻡ ﻣﺴﻴﺮﻫﺎ ﺑﺮﺧﻮﺭﺩ ﺩﺍﺷﺘﻪﺑﺎﺷﺪ. )ﺍﮔﺮﺑﻪ ﺍﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺮﻭﺩ ﺑﺎ ﻣﺴﻴﺮﯼ ﮐﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ۷ﻣﯽﺭﺳﺪ ﺑﺮﺧﻮﺭﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ.( ﭘﺲ ﻧﻘﻄﻪ ب ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ۷ ﻣﯽﺭﻭﺩ. ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺷﮑﻞ ﺷﻤﺎﻝ ﻏﺮﺑﯽﺗﺮﻳﻦ ﻣﻴﻞ ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ۳ ﺑﺮﻭﺩ. ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﻣﯽﺗﻮﺍﻥ ﺑﺮﺭﺳﯽ ﮐﺮﺩ ﮐﻪ ﻣﻴﻞﻫﺎﯼ ﻧﻘﺎﻁ ﺝ،ﺑﺎﻻ ،ﭘﺎﻳﻴﻦ ﻭﺳﻤﺖ ﺭﺍﺳﺖ ﺍﻟﻒ ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﻧﻘﺎﻁ ۴،۲،۶ﻭ ۸ﺑﺮﻭﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺎ ﺗﻤﺎﻡ ﺧﻄﻮﻁ ﺩﻳﮕﺮ ﺑﺮﺧﻮﺭﺩ ﮐﻨﺪ ﺍﻣﺎ ﻣﻴﻞﻫﺎﯼ ﺭﻭﯼ ﻗﻄﺮ ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽﻣﺎﻧﻨﺪ. ﺍﻳﻦ ﻣﻴﻞﻫ ﺎﺑﻪ ﻫﺮ ﺗﺮﺗﻴﺒﯽ ﺑﻪ ﻧﻘﻂ ۱،۵ﻭ۹ ﻣﻨﺘﻘﻞ ﺷﻮﻧﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﻳﯽ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﯽﻣﺎﻧﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺑﺮﺍﯼ ﺟﺎﯼﮔﺬﺍﺭﯼ ﻣﻴﻞ ﻧﻘﻄﻪ ﺍﻟﻒ ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺭﺩ ﻭ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﻳﮑﺘﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﯽﺷﻮﺩ.