المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$18$

Question

تصویر عمود یک چهار ضلعی مسطح در فضا روی سه صفحه ی مختصات به شکل های زیر است. مجموع مربع های طول قطرهای این چهارضلعی چقدر است؟

Answer 1

این چهارضلعی چون تصویراش چهارضلعی مسطحن روی صفحه ها,پس رئوسش میفته دقیقا روی رئوس این صفحه ها,یعنی مثلا یکی از رئوس چهارضلعی اینطوری به دست میاد:راسی که تصویرش $(2,0 )$ هست روصفحه $xy$ روصفحه $xz$ فقط میتونه نقطه $(2,0)$باشه پس مختصاتش رو فضا میییییییییشه $(2,0,0)=A$

عین همین سایر رئوس روبه دست میاریم: $(0,2,0) , (0,1,3) , (1,0,3)$

پس:

$$2\times( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) =2\times14=28$$

باتشکر از همکاری دوست عزیزم

Comments

جواب داده شده درسته فقط اینکه با توجه به مختصات رئوس دو قطر برابرند و طول هرکدام برابر فاصله ی رئوس غیر مجاور است که از فرمول زیر حساب می شود.

$$AC= \sqrt{ ( x_{A} - x_{C} )^{2} +( y_{A} - y_{C} )^{2} +( z_{A} - z_{C} )^{2} }$$ $\\ $

دقت شود در صورت سوال مربع طول قطر خواسته شده است.