المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$11$

Question

در مورد اعداد زیر کدام گزینه درست است؟

$ c= 2^{2^{ 2^{2^{2} } } } $ , $ b= 2^{100} $ ، $ a=100! $

1) $ b < a < c $

2) $ a < b < c $

3) $ c < a < b $

4) $ b < c < a $

5) $ a < c < b $

Answer 1

واضح است که $ c=2^{2^{16}}$ و چون $2^{16}>100 $ لذا $ b< c $

از طرفی تعدادعوامل $2 $ در $100! $ برابر است با $$ [100/2]+[100/2^2]+[100/2^3]+...=97 $$ ولی چون عوامل دیگری مانند $ 3 $ و $ 5 $ در $100! $ وجود دارند بنابراین واضح است که $ a>b $

لذا باید اعداد $a $ و $ c $ را با هم مقایسه کنیم: $$\begin{align} c=2^{2^{16}}=(2^{2^6})^{2^{10}}&=(2^{64})^{1024}\\ &>100\times99\times...\times2\times 1\\ &=100!=a \end{align}$$

یعنی گزینه‌ی 1 درست است: $b< a< c $