برای سه عدد حقیقی دلخواه با اثبات بازگشتی ثابت کنید که $x^{2}+ y^{2}+ z^{2}\geq 2x+2y+2z-3$.

Question

سلام. با اثبات بازگشتی ثابت کنید که اگر $x$ و $y$ و $z$ سه عدد حقیقی باشند، آنگاه:

$$x^{2}+ y^{2}+ z^{2}\geq 2x+2y+2z-3$$

ممنون.

Comments

@Nasiri  آیا اصلاحی که من انجام دادم همان منظور شماست یا خیر؟

---

بله منظور من همین است

Answer 1

$$ \begin{align} x^2+y^2+z^2\geq 2x+2y+2x-3 &\iff x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\geq 0\\ &\iff (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0 \end{align} $$

که رابطه اخیر همواره درست است چرا که توان دوم هر عددی نامنفی است و جمع چند عدد نامنفی همواره نامنفی است.

Comments

خیلی ممنونم از شما @fardina