ریاضی 2 قضیه مشتق های آمیخته

Question

تابع دو متغیره$f(x,y)$ را معرفی کنید که $f_{xy}(a,b) \neq f_{yx}(a,b)$

طبق قضیه مشتق های آمیخته که می گوید :

فرض کنید تابع $f(x,y)$ و مشتقات جزئی آن $f_{yx}, f_{xy}, f_y, f_x$ در سرتاسر یک همسایگی از نقطه $(a,b)$ پیوسته هستند در این صورت:

$f_{xy}(a,b)= f_{yx}(a,b)$

Answer 1

تعریف کنید:

$if (x,y) \neq (0,0):f(x,y) =xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \wedge f(0,0)=0$

به راحتی می توان بررسی کرد که:

$-1=f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0))=1$

$ \Box $