آیا گردایهٔ $\lbrace\emptyset,X,\lbrace a,c,d\rbrace,\lbrace b,c,d\rbrace\rbrace$ یک توپولوژی بر روی $X=\lbrace a,b,c,d\rbrace$ است؟

Question

مجموعهٔ $X=\lbrace a,b,c,d\rbrace$ را در نظر بگیرید. کدام گزینه یک توپولوژی بر روی $X$ می‌شود؟

1. $$\lbrace\emptyset,X,\lbrace a\rbrace,\lbrace b\rbrace,\lbrace a,c\rbrace,\lbrace a,b,c\rbrace,\lbrace a,b\rbrace\rbrace$$
2. $$\lbrace\emptyset,X,\lbrace a\rbrace,\lbrace b\rbrace,\lbrace a,b\rbrace,\lbrace b,d\rbrace\rbrace$$
3. $$\lbrace\emptyset,X,\lbrace a,c,d\rbrace,\lbrace b,c,d\rbrace\rbrace$$

حدس خود من گزینهٔ سوم است ولی چگونه آن را ثابت کنم؟

Comments

@amirkh گزینهٔ درست ۱ است نه ۳.

Answer 1

اگر گزینه ی سوم، یعنی $\lbrace\emptyset,X,\lbrace a,c,d\rbrace,\lbrace b,c,d\rbrace\rbrace$ قرار باشد یک توپولوژی روی $X$ باشد در اینصورت باید این گردایه تحت اشتراک متناهی بسته باشد. در حالیکه $$ \{a,c,d\}\cap \{b,c,d\}=\{c,d\} $$

در این گردایه قرار ندارد.