Question

اگر $ f^{3} $ اندازه پذیر باشد آیا $f$اندازه پذیر است؟

اگر $ \mid f \mid $ اندازه پذیر باشد آیا $f$اندازه پذیر است؟

Comments

@esmaielfar در یک پست تنها یک پرسش بپرسید. چرا فکر نمی‌کنید که اگر فقط یکی از این دو مورد را بپرسید و سپس از پاسخی که دریافت می‌کنید می‌توانید روی مورد دیگر خودتان فکر کنید؟
بعلاوه ربط این پرسش به نظریهٔ اعداد چیست؟

Answer 1

در مورد اولی فرض کنید $f^3$ اندازه پذیر باشد نشان می دهیم $f$ اندازه پذیر است. برای این کار کافی است نشان دهیم برای هر $a\in \mathbb R$ مجموعه $\{x: f(x)< a\}$ اندازه پذیر است. اما واضح است که $$\{x:f< a\}=\{x: f^3< a^3\}$$ که از اندازه پذیری $f^3$ نتیجه می شود مجموعه بالا اندازه پذیر است.

اما برای مورد دوم فرض کنید $N$ مجموعه ای اندازه ناپذیر باشد. تابع

$$f(x)=\begin{cases} 1& x\in N\\ -1& x\notin N \end{cases}$$

اندازه ناپذیر است(چرا؟) در حالیکه $|f|=1$ اندازه پذیر است.