اینکه از طرفین لگاریتم بگیرید و سپس از هوپیتال استفاده کنید را درست متوجه شدید ولی اینکه بعدش به چه مشکلی برخوردید را اشاره نکردید. من در ابتدا که این پرسش را دیدم به خاطر اینکه قدرمطلق تابعی مشتقپذیر در $x=0$ نیست خیلی تمایل به استفاده از هوپیتال نداشتم و بیشتر به فکر تغییر متغیر و نوشتن حد به شکل مشابه $(1+\frac{1}{x})^x$ برای عدد نپر بودم. ولی اگر برای یک لحظه از مشتقپذیر بودن و نبودن تابع قدرمطلق در مبدأ بگذریم، آنگاه
\begin{align}
\lim_{x\to 0}\big(\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)\big)^{\frac{1}{|x|}} &= \lim_{x\to 0}e^{\ln\Big(\big(\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)\big)^{\frac{1}{|x|}}\Big)}\\
&= \lim_{x\to 0}e^{\frac{\ln\big(\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)\big)}{|x|}}\\
&= e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln\big(\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)\big)}{|x|}}
\end{align}
پس اکنون $\lim_{x\to 0}\frac{\ln\big(\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)\big)}{|x|}$ را محاسبه کنیم. که برای آن از هوپیتال استفاده میکنیم بنا به پیشنهاد خودتان.
\begin{align}
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\big(\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)\big)}{|x|} &= \lim_{x\to 0}\frac{\frac{\frac{1}{e}-\frac{1}{x+e}}{\frac{x+e}{e}-\ln(x+e)}}{\frac{|x|'_x}{|X|}}\\
&= \lim_{x\to 0}-\frac{x|x|}{|x|'_x(x+e)(-e-x+e\ln(x+e))}\\
&= -(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x+e})(\lim_{x\to 0}\frac{1}{|x|'_x})(\lim_{x\to 0}\frac{x|x|}{-e-x+e\ln(x+e)})
\end{align}
توجه کنید که حد نخست $\frac{1}{e}$ میشود. حد دارای مشتق $|x|$ را نگه دارید و به سراغ حد آخر برویم که دوباره هوپیتال استفاده میکنیم.
\begin{align}
\lim_{x\to 0}\frac{x|x|}{-e-x+e\ln(x+e)} &= \lim_{x\to 0}\frac{|x|+x|x|'_x}{-1+\frac{e}{x+e}}\\
&= \lim_{x\to 0}-\frac{(x+e)(|x|+x|x|'_x)}{x}\\
&= -(\lim_{x\to 0}(x+e))(\lim_{x\to 0}\frac{|x|+x|x|'_x}{x})\\
&= -e(\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}+\lim_{x\to 0}|x|'_x)
\end{align}
دوباره حد مشتق قدرمطلقدار را نگهدارید و عبارت دیگر را یک بار دیگر هوپیتال بزنید.
$$\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0}|x|'_x$$
پس در کل آنچه داریم برابر است با
$$-(-(\frac{1}{e}e(\lim_{x\to 0}|x|'_x+\lim_{x\to 0}|x|'_x)\frac{1}{\lim_{x\to 0}|x|'_x}))=2$$
در بالا از حد مشتق قدرمطلقها فاکتور و با فرض ناصفر بودنشان آنها را خط زدیم. چرا؟ توجه کنید که در واقع یک بار حد راست را محاسبه میکنیم و یک بار حد چپ و کاری به مقدار تابع در خود این نقطه نداریم. تابع قدرمطلق در همه جا به غیر از صفر مشتق دارد، در نتیجه حد راست و حد چپ مشتقش قابل بحث است و اتفاقا موجود هم هستند. حد راست مشتق تابع قدر مطلق در صفر برابر با مثبت یک و حد چپ برابر با منفی یک است. پس در هر دو حالت عدد ثابت و نامنفیاست و این که تقسیمش بر خودش را یک بنویسیم مجاز است (توجه کنید که اگر برابر یا صفر میشد یا تعریفنشده بود، نمیتوانستیم بگوئیم تقسیمش بر خودش برابر یک میشود). و چون حد چپ و حد راست هر دو برابر با ۲ شد، پس حد دوطرفه موجود و برابر ۲ است. تنها چیزی که میماند اثر دادن $e^{\sim}$ است که حد نخست را بدهد. پس پاسخ نهایی برابر است با $e^2$.
این پرسش یکی از بیشمار پرسشهای نااستاندارد کنکور است. متأسفانه طراحهای آزمونهای کنکور مدت زیادی است که افراد بدون تخصص آموزشی انتخاب میشوند و پرسشی که میدهند در ملاک «سنجش تحصیل بر حسب منبع مشترک کل کشور» و ملاک «قابل حل بودن در مدت زمان مختص هر تست و بدون فرض کردن اینکه شرکتکننده علمغیب داشتهاست یا کلی فرمول تستی حفظ کردهباشد» صدق نمیکنند. اگر کسی پیشتر مشابه این پرسش را دیده باشد، بلی، در مدت چند ثانیه حل میکند ولی در حالت کلی جزئیات زیادی داشت که برای یک فرد متوسط که تنها منابع مشترک کشوری را دیده باشد فکر کردن پیرامونشان زمان میبرد. بعلاوه کنکور قرار نیست مانند آزمون تیزهوشان یا المپیاد یا مسابقات باشد! کنکور تنها باید میزان دانش فراگرفتهشده توسط شرکتکننده در مقطع پیشین را محک بزند.
بگذریم. کمک از نرمافزار میتواند برایتان سودمند باشد. با نرمافزار Maple میتوانید اینگونه حاصل این حد را بخواهید.
limit((((x+exp(1))/exp(1))-ln(x+exp(1)))^(1/ln(abs(x))),x=0);
در نرمافزار SageMath نیز با دستور یکسان حد بالا خواسته میشود. در پیوند https://sagecell.sagemath.org/ میتوانید از نسخهٔ برخط این نرمافزار استفاده کنید. کافی است کد بالا را وارد کنید و سپس Enter بزنید. در نرمافزار Mathematica نیز به روش مشابه ولی با نمادگذاری کمی متفاوت این حد را میتوانید بخواهید.
Limit[(((x+Exp[1])/Exp[1])-Ln[x+Exp[1]])^(1/Ln[Abs[x]]),x->0]
در نسخهٔ برخط این نرمافزار نیز میتوانید این کار را انجام دهید. حاصل آن در این پیوند (اینجا کلیک کنید) نمایش دادهشدهاست. بعلاوه یک نمودار نیز برایش رسم کردهاست که شاید برایتان جالب باشد.
