به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی

محفل ریاضی ایرانیان یک سایت پرسش و پاسخ برای تمامی کسانی است که ریاضی می خوانند. دانش آموزان، دانشجویان و اساتید ریاضی اینجا هستند. به ما ملحق شوید:

عضویت

هر سوال ریاضی که دارید می توانید بپرسید

سوال بپرسید

می توانید به سوالات پاسخ دهید

سوالات

امتیاز بگیرید و به دیگران امتیاز دهید

بدون پاسخ

Visanil
+2 امتیاز
397 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (4,490 امتیاز)

می خواهیم اعداد طبیعی را طوری رنگ آمیزی کنیم که اولاً هر دو عدد متوالی ناهمرنگ باشند و ثانیاً برای هر دو عدد ناهمرنگ a و b، یا باقیمانده a و b بر 11 متفاوت باشد یا باقیمانده a و b بر 17. کمترین تعداد رنگ ها چقدر است؟

مرجع: المپیاد ریاضی دوره دوم متوسطه_مرحله اول_23 دوره

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط Elyas1 (4,490 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

به نام خدا. پاسخ بنده به شکل زیر است. ممنون می شوم اساتید تأیید کنند.

نکته: اگر باقیمانده تقسیم دو عدد a,b بر عدد c یکسان و تقسیم دو عدد a,b بر d یکسان بود، آنگاه باقیمانده تقسیم هر دو عدد a,b بر cd نیز یکسان خواهند بود.

اثبات این نکته راحت است.

با توجه به شرط دوم مسئله، اعدادی که تقسیم بر 11×17=187 بشوند و باقیمانده یکسانی بدهند آن گاه همرنگ خواهد بود. اگر به طور فرضی از دو رنگ استفاده شود، آنگاه نتیجه نادرست ناهمرنگ بودن اعداد1 و 188 بدست می آید. حال اعداد را در دسته های 187 تایی قرار می دهیم:

A_1 ={1,2,...,187}

A_2 ={188,189,...,374}

A_3 ={375,376,...,561}

.

.

.

حال نباید عضو های اول هر مجموعه ناهمرنگ باشند و همینطور عضو های دوم و..تا عضو ها 187 ام، پس باید همرنگ باشند. فرض کنیم که سه رنگ R،G،B را در اختیار داریم. برای رنگ آمیزی می توان ابتدا تمام عضو های اول هر مجموعه را با رنگ G رنگ آمیزی کنیم. سپس عضو های هر مجموعه را به ترتیب از عضو دوم تا آخرین عضو، یکی درمیان با رنگ های R,B رنگ کنیم.

...