به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,333 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط erfanm

با استفاده ازقاعده لایب نیتز رابطه زیر را اثبات کنید. با هر روش دلخواه (استقراء یا جز به جز یا غیره)

$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n}= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $
توسط erfanm (13,764 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
رابطه ای که نوشتید درست نیست برای حالت $n=2$ بررسی کردم درست نیست.اطمینان دارید که درست نوشتید؟
توسط
بله این هم فایل اون نوشته است و استاد هم گفته درسته ولی من هم نتونستم خوب بازش کنم نتیجه بگیریم برا همین به شما زحمت دادم
توسط
ببخشید در یک سئوال دیگر فایل را خدمتتون ارسال نمودم .
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+2
برای اینکه کاربران دیگه رو از پیامتون مطلع کنید اول @ بنویسید بعد نام کاربری مثلا @erfanm
بهتره همین سوالتونو ویرایش بزنید و فایل رو بزارید به جای اینکه چند سوال ایجاد کنید!
توسط
انتقال داده شده توسط fardina
+1

نحوه نوشتن سوال غلط است جواب داخلی ترین انتگرال تابعی از X است بنابراین انتگرال نسبت به t آن به چه معناست ؟‌آنرا ثابت می گیرید سمت چپ تساوی باید به صورت زیر نوشته شود

$\int_0^{x_n}\cdots\int_0^{x_2} \int_0^{x_1} f(t) dt dx_1\cdots dx_{n-1}=...$

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+3 امتیاز
توسط erfanm (13,764 امتیاز)

با استقرا حکم را ثابت میکنیم برای $ n=1 $ حکم ساده است. فرض کنید برای $ n-1 $ درست باشد یعنی $$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n-1} = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$ نشان میدهیم حکم برای $ n $ نیز درست است برای این کار قرار می دهیم $I(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $ لذا $I(0)=0 $ و$f(x,t)=(x-t)^{n-1} f(t)$

حال طبق قاعده لایبنیتز داریم: $$I^{'}(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (n-1)(x-t)^{n-2} f(t)dt = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$ طبق فرض استقرا داریم: $$I^{'}(X)= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n-1} $$ با انتگرال گیری از طرفین داریم: $I(X)-I(0) =\int_0^x I^{'}(X)dt= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n} $

پس داریم: $$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)dt....dt= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...