به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
334 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

با استفاده ازقاعده لایب نیتز رابطه زیر را اثبات کنید. با هر روش دلخواه (استقراء یا جز به جز یا غیره)

$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n}= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
رابطه ای که نوشتید درست نیست برای حالت $n=2$ بررسی کردم درست نیست.اطمینان دارید که درست نوشتید؟
دارای دیدگاه توسط
بله این هم فایل اون نوشته است و استاد هم گفته درسته ولی من هم نتونستم خوب بازش کنم نتیجه بگیریم برا همین به شما زحمت دادم
دارای دیدگاه توسط
ببخشید در یک سئوال دیگر فایل را خدمتتون ارسال نمودم .
دارای دیدگاه توسط
+2
برای اینکه کاربران دیگه رو از پیامتون مطلع کنید اول @ بنویسید بعد نام کاربری مثلا @erfanm
بهتره همین سوالتونو ویرایش بزنید و فایل رو بزارید به جای اینکه چند سوال ایجاد کنید!
دارای دیدگاه توسط
انتقال داده شده توسط
+1

نحوه نوشتن سوال غلط است جواب داخلی ترین انتگرال تابعی از X است بنابراین انتگرال نسبت به t آن به چه معناست ؟‌آنرا ثابت می گیرید سمت چپ تساوی باید به صورت زیر نوشته شود

$\int_0^{x_n}\cdots\int_0^{x_2} \int_0^{x_1} f(t) dt dx_1\cdots dx_{n-1}=...$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

با استقرا حکم را ثابت میکنیم برای $ n=1 $ حکم ساده است. فرض کنید برای $ n-1 $ درست باشد یعنی $$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n-1} = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$ نشان میدهیم حکم برای $ n $ نیز درست است برای این کار قرار می دهیم $I(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $ لذا $I(0)=0 $ و$f(x,t)=(x-t)^{n-1} f(t)$

حال طبق قاعده لایبنیتز داریم: $$I^{'}(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (n-1)(x-t)^{n-2} f(t)dt = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$ طبق فرض استقرا داریم: $$I^{'}(X)= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n-1} $$ با انتگرال گیری از طرفین داریم: $I(X)-I(0) =\int_0^x I^{'}(X)dt= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n} $

پس داریم: $$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)dt....dt= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...