برای ژاکوبین اگر
$ \begin{cases} f_{1}( u_{1} ,..., u_{n} ) = 0\\f_{2}( u_{1} ,..., u_{n} ) = 0\\ \vdots \\f_{m}( u_{1} ,..., u_{n} ) = 0\end{cases} $
را داشته باشیم آنگاه $J(i,j)= \frac{\partial f_{i}}{\partial u_{j}} $
حال ابتدا عبارات معادله ی 14 را طوری می نویسیم که یک طرف صفر شود.
$ \begin{cases} u(x_1)-f(x_1)- \frac{1}{2M} \sum_{q=1}^{2M} K(x_1,t_q,u(t_q))= 0\\u(x_2)-f(x_2)- \frac{1}{2M} \sum_{q=1}^{2M} K(x_2,t_q,u(t_q))= 0\\ \vdots \\u(x_{2M})-f(x_{2M})- \frac{1}{2M} \sum_{q=1}^{2M} K(x_{2M},t_q,u(t_q))= 0\end{cases} $
برای راحتی نمایش معادلات را با $ G_{2M} $ ,...,$ G_{1} $ نمایش میدهیم یعنی
$ G_{i}= u(x_i)-f(x_i)- \frac{1}{2M} \sum_{q=1}^{2M} K(x_i,t_q,u(t_q))= 0$
در اینجا $J(p,r)= \frac{\partial G_{p}}{\partial u_{ x_{r} }}$ گرفته می شود. مثلا
$$J(1,1)= \frac{\partial G_{1}}{\partial u_{ x_{1} }}= \frac{\partial u(x_1)-f(x_1)- \frac{1}{2M} \sum_{q=1}^{2M} K(x_1,t_q,u(t_q))}{\partial u_{ x_{1} }}=$$
$$ \frac{\partial u(x_1)}{\partial u_{ x_{1} }} - \frac{\partial f(x_1)}{\partial u_{ x_{1} }}-\frac{\partial \frac{1}{2M} \sum_{q=1}^{2M} K(x_1,t_q,u(t_q))}{\partial u_{ x_{1} }}= $$
$$ 1-0-\phi _1(1,1)$$
پس در حالت هایی که $p=r$ داریم یک $ \frac{\partial u(x_p)}{\partial u_{ x_{p} }} $ منهای $ \phi _1(p,p) $ داریم یعنی
$J(p,p)=1- \phi _1(p,p)$
اما در حالتهایی که $p \neq r$ داریم $ \frac{\partial u(x_p)}{\partial u_{ x_{r} }}=0$ و لذا فقط $\phi _1(p,r)$ را داریم.
