فکر کنم شما دنبال قضایای تغییر متغیر و انتگرال گیری جز به جز می گردید. این قضایا معمولا در کتاب های آنالیزی بررسی و اثبات میشوند.
انتگرال گیری جز به جز: تابع $f$ نسبت به $g$ در $[a, b]$ انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر $g$ نسبت به $f$ در $[a, b]$ انتگرال پذیر باشد. در اینصورت داریم:
$$\int_a^b fdg+\int_a^b gdf=f(b)g(b)-f(a)g(a)$$
قضیه تغییر متغیر: فرض کنید $\phi:[\alpha,\beta]\to \mathbb R$ و مشتق پیوسته داشته باشد و
$a=\phi(\alpha), b=\phi(\beta)$. اگر $f$ در برد $\phi$ پیوسته باشد آنگاه $$\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\phi(t))\phi'(t)dt$$
برای اثبات می تونید به هر کتاب آنالیز ریاضی رجوع کنید.
