برای رابطه زیر به چه صورت عمل کنیم

Question

$u'(x_p)+g(x_p)u(x_p)=f(x_p)+ \frac{1}{2M} \sum_q^b K(x_p,t_q,U(t_q),u'(t_q))$(20) $P=1,2,....2M$$q=1,2,...2M;$ the jacobian of the system(20 is given as follows: J(p,r) =

$$\begin{cases}1+ \phi _1(p,p) & p = r\ \phi _1(p,r) & p \neq r\end{cases}$$ که در آن: $\phi _1(p,p)=g(x_p) \frac{ \delta u(x_p)}{ \delta u'(x_p)}- \frac{1}{2M} \sum_q^b \ \frac{ \delta k(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q))}{ \delta u'(x_r)}$ q=1,2,...,2M و: (20) $\frac{ \delta K(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q))}{ \delta u'(x_r)}=\begin{cases} \frac{ \delta k}{ \delta u}(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q)) \frac{ \delta u(x_p)}{ \delta u'(x_r)}+ \frac{ \delta k}{ \delta u'} (x_p,t_r,u(t_r),u'(t_r)) & q =r\\ \frac{ \delta k}{ \delta u}(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q)) & q \neq r\end{cases} 20$ میشه رابطه 20را تحلیل نمایید

Comments

باتوجه به توضیحات آقای erfanm قسمت اول رو تحلیل نمودم فقط قسمت پایینشو نفهمیدم.

Answer 1

کافیه دقت کنیم که $u(x_p)$ تابعی از $u'(x_i)$ ها است پس به ازای $r$ مقدار $\frac{‎\partial‎ u(x_p)}{‎\partial‎ u'(x_r) }$ موجود و قابل محاسبه است اما اگر $r \neq i$ آنگاه $\frac{‎\partial‎ u'(x_i)}{‎\partial‎ u'(x_r) }$ برابر است با صفر.

حال ما می خواهیم از $K(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q))$ که تابعی از $u(t_q)$ و $u'(t_q)$ است( خود $u(t_q)$ دارای $u'(t_r)$ها است) نسبت به $u'(x_r)$ مشتق بگیریم پس(به کمک قاعده مشتق زنجیره ای) داریم:

$$\frac{ \delta K(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q))}{ \delta u'(x_r)}=\frac{ \delta K(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q))}{ \delta u(x_p)} \frac{ \delta u(x_p)}{ \delta u'(x_r)}+$$ $$\frac{ \delta K(x_p,t_q,u(t_q),u'(t_q))}{ \delta u'(x_q)}\frac{ \delta u'(x_q)}{ \delta u'(x_r)}$$

اما اگر $r \neq q$ آنگاه $\frac{‎\partial‎ u'(x_q)}{‎\partial‎ u'(x_r) }=0$ و این حکم را ثابت می کند.

Comments

دقیقا رابطه ی  21 مقاله است.

---

تشکر.متوجه شدم

---

آقا منوچهری صفحه459 مقاله یه مقداری واسه u'''آورده میشه یه نگاه بندازین.مرسی

---

سلام دیدمش
از $u^{'}$ نسبت به $x_p$ انتگرال گرفته

---

سلام.فرمایشتون درسته.فقط خواستم بدونم اون روابط از کجا اومده اصلا توضیح نداده.صفحه459