با استقرا حکم را ثابت میکنیم
برای $ n=1 $ حکم ساده است.
فرض کنید برای $ n-1 $ درست باشد یعنی
$$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)\underbrace{dt....dt}_{n-1} = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$
نشان میدهیم حکم برای $ n $ نیز درست است برای این کار قرار می دهیم
$I(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $
لذا $I(0)=0 $ و$f(x,t)=(x-t)^{n-1} f(t)$
حال طبق قاعده لایبنیتز داریم:
$$I^{'}(X)= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (n-1)(x-t)^{n-2} f(t)dt = \frac{1}{(n-2)!} \int_0^x (x-t)^{n-2} f(t)dt $$
طبق فرض استقرا داریم:
$$I^{'}(X)= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n-1} $$
با انتگرال گیری از طرفین داریم:
$I(X)-I(0) =\int_0^x I^{'}(X)dt= \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t) \underbrace{dt....dt}_{n} $
پس داریم:
$$ \int_0^x \int_0^x \int_0^x... \int_0^x f(t)dt....dt= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t)dt $$
