آیا عدد ۵۲۶۳۱۵۷۸۹۴۷۳۶۸۴۲۱۰ یک عدد دیرپا است؟

Question

عدد طبیعیِ $n$ را دیرپا می‌گوییم اگر در هر عدد طبیعی‌ای که ضرب شود، عددِ حاصل شاملِ هر ده رقمِ ۰ و ۱ و ۲ و ... و ۹ باشد. آیا عدد ۵۲۶۳۱۵۷۸۹۴۷۳۶۸۴۲۱۰ یک عدد دیرپا است؟

Comments

@mmvf20041383 مرجع‌دهی را درست و استاندارد انجام دهید. «سایت رشد سال ۱۳۸۹» یعنی چه؟ یعنی در سال ۱۳۸۹ چیزی در سایت رشد بوده که الآن نیست و شما آن چیزی که دیگر در دسترس نیست را مرجع معرفی کرده‌اید؟ اگر از سایتی چیزی را برمی‌دارید، برای مرجع باید آدرس (پیوند، لینک) آن صفحهٔ الکترونیکی را بدهید. اگر از مجله یا کتابی برداشته‌اید باید مشخصات همان کتاب یا مجله را بنویسید.
بعلاوه عنوان پرسش نیز نامناسب است. عنوان پرسش مثل خلاصه گفتن پرسش است. پست زیر را هم قسمت «عنوان مناسب» و هم قسمت «مرجع‌دهی رست» را بخوانید.
https://math.irancircle.com/11973
به ویرایشی که بر پست‌تان انجام دادم نگاه کنید.

Answer 1

یکی از مسائلی که در ریاضیات وجود دارد این است که به ازای چه اعداد اولی مانند $p$، عدد $\frac{1}{p}$ دوره تناوبی برابر با $p-1$ داشته باشد. این مسئله به طور عمومی حل نشده است و چند عدد اول ابتدایی که این ویژگی را دارند، عبارتند از: $7, 17, 19, \ldots$ ، و برای عدد $19$ داریم: $$\frac{1}{19} = 0. \overline{052631578947368421}$$ که قسمت اعشاری آن، همان عددی است که در صورت سوال آمده است. یکی از ویژگی‌هایی که این اعداد دارند این است که در هر عدد از $1$ تا $p-1$ که ضرب شوند، یک جایگشت از ارقام عدد اصلی ظاهر می‌شود اما اگر در $p$ ضرب شوند تبدیل به $1$ یا معادلا $0. \overline{9}$ می‌شود. چراکه مثلا برای عدد $19$ باید داشته باشیم: $$1 = 19 \times \frac{1}{19} = 19 \times 0. \overline{052631578947368421} = 0. \overline{9}$$ حال اگر در اینجا نیز عدد صورت سوال را در ۱۹ ضرب کنیم خواهیم داشت: $$19 \times 526315789473684210 = 9,999,999,999,999,999,990$$ پس این عدد دیرپا نیست.

Comments

خیلی از شما ممنونم.راه بسیار هوشمندانه ای بود.لطف کردید.