یکی از مسائلی که در ریاضیات وجود دارد این است که به ازای چه اعداد اولی مانند $p$، عدد
$\frac{1}{p}$
دوره تناوبی برابر با
$p-1$
داشته باشد. این مسئله به طور عمومی حل نشده است و چند عدد اول ابتدایی که این ویژگی را دارند، عبارتند از:
$7, 17, 19, \ldots$
، و برای عدد $19$ داریم:
$$\frac{1}{19} = 0. \overline{052631578947368421} $$
که قسمت اعشاری آن، همان عددی است که در صورت سوال آمده است. یکی از ویژگیهایی که این اعداد دارند این است که در هر عدد از $1$ تا
$p-1$
که ضرب شوند، یک جایگشت از ارقام عدد اصلی ظاهر میشود اما اگر در $p$ ضرب شوند تبدیل به $1$ یا معادلا
$0. \overline{9}$
میشود. چراکه مثلا برای عدد $19$ باید داشته باشیم:
$$1 = 19 \times \frac{1}{19} = 19 \times 0. \overline{052631578947368421} = 0. \overline{9}$$
حال اگر در اینجا نیز عدد صورت سوال را در ۱۹ ضرب کنیم خواهیم داشت:
$$19 \times 526315789473684210 = 9,999,999,999,999,999,990$$
پس این عدد دیرپا نیست.
