به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
304 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

دنبالهٔ $\lbrace f_n\rbrace_{n=1}^\infty$ از اعداد طبیعی این طور تعریف شده است:

$$\begin{cases} f_0=f_1=1,\\ f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\quad n\geq 1 \end{cases}$$

این دنباله را دنبالۀ فیبوناتچی می‌نامند. چند جملهٔ اول این دنباله چنین است:

$$1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots$$

حال نشان دهید که برای هر $m$ و $n$-ِ طبیعی داریم:

$$f_{m+n}=f_{n-1}f_m+ f_nf_{m+1}$$
مرجع: کتاب نظریه اعداد، انتشارات فاطمی، نوشتهٔ مریم میرزاخانی و رویا بهشتی‌زواره_ صفحه 15 تمرین 4
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
@AmirHosein  با مرجع چک کردم. تنها چیزی که یادم رفت بنویسم این بود که m عددی طبیعی است و البته یک قسمت دیگر که چند جمله ی اول دنباله را نوشته است.
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
@AmirHosein سوال را ویرایش کردم. فقط در تایپ نمی دانم چگونه $=1$ را جلوی n قرار دهم.
توسط AmirHosein (19,563 امتیاز)
+1
@Elyas1 بر روی ویرایش کلیک کنید و مقایسه کنید که چگونه این کار را انجام داده‌ام. ولی ویرایش شما تغییری از نظر معنا ایجاد نکرده‌است و کماکان مثال نقضی که آقای @good4us آوردند نادرست بودن حکم را نشان می‌دهد. اگر می‌شود شمارهٔ صفحه و شمارهٔ پرسش را نیز در قسمت مرجع بنویسید. اگر پرسش واقعا اینگونه بوده‌است آنگاه دیدگاه آقای @good4us به عنوان پاسخ برای این پرسش و نشان دهندهٔ اشتباه بودن متن پرسش در کتاب مرجع شمرده می‌شود.
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
+1
@good4us و @AmirHosein  از توجه شما بزرگواران تشکر می کنم. با توجه به اینکه این پرسش دارای مشکل است، اگر بخواهد این مشکل اصلاح شود، باید این اصلاح روی تعریف دنباله  یا روی m انجام شود؟
توسط amir7788 (2,934 امتیاز)
+1
در خط اول fnبرای n های طبیعی تعریف شده اما در خط بعد f0مطرح کرد در واقع f0اشتباه است برای رفع این اشتباه f0حذف کنید یعنیfnهای بنابه خط اول F1 وf2و.... تعریف می شود که دو جمله اولش 1 می باشه
یعنی

f1=f2=1

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط good4us (7,308 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

دنبالهٔ $\lbrace f_n\rbrace_{n=0}^\infty$ که در پرسش آمده‌است، دنبالهٔ فیبوناچی است. در حکم پرسش قرار دهید $m=1$ پس اگر حکم درست باشد باید داشته‌باشیم $f_{n+1}=f_{n-1}f_1+f_nf_2$. چون $f_1=1$ و $f_2=2$، یعنی $f_{n+1}=f_{n-1}+2f_n$ که با $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ تناقض ایجاد می‌کند. رابطهٔ جدید نیز دنباله فیبوناتچی را می‌دهد، اما اندیس‌های آنها یک واحد اختلاف دارد.

توسط قاسم شبرنگ (305 امتیاز)
سلام.
باید جمله دوم را 1 در نظر گرفت.
+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (305 امتیاز)

توجه داشته باشید که $f_1=f_2=1$ حالا $n$ را ثابت و دلخواه در نظر بگیرید و استقرا را روی $m$ بکار ببرید.واضح است برای 1 درست است.طبق استقراء قوی فرض کنید حکم برای $1,2,3....m-1$ درست باشد.پس برای $m+1$ داریم:

$f_{(m+1)+n}=f_{(m+n)+1}$ $=f_{m+n}+f_{(m+n)-1}$ $=f_{m+n}+f_{(m-1)+n}$ $=f_{n-1}f_m+f_nf_{m+1}+f_{n-1}f_{m-1}+f_n+f_m$ $=f_{n-1}(f_m+f_{m-1})+f_n(f_{m+1}+f_{m-1})$ $=f_{n-1}f_{m+1}+f_n+f_{m+2}$ $ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...