در دنباله فیبوناچی نشان دهید که $f_{m+n}=f_{n-1}f_m+ f_nf_{m+1}$

Question

دنبالهٔ $\lbrace f_n\rbrace_{n=1}^\infty$ از اعداد طبیعی این طور تعریف شده است:

$$\begin{cases} f_0=f_1=1,\\ f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\quad n\geq 1 \end{cases}$$

این دنباله را دنبالۀ فیبوناتچی می‌نامند. چند جملهٔ اول این دنباله چنین است:

$$1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots$$

حال نشان دهید که برای هر $m$ و $n$-ِ طبیعی داریم:

$$f_{m+n}=f_{n-1}f_m+ f_nf_{m+1}$$

Comments

Elyas1@ اگر m را یک بگیریم این تساوی آیا درست است؟

---

@good4us بله ممنون. با استقرا اثبات می شود.

---

Elyas1@
$ f_{n+1}=f_{n-1}f_{1} +f_{n}f_{2}$
باتوجه به اینکه $ f_{2}$ برابر 2 میشه ،درسته؟

---

طبق دنباله فیبوناتچی که در بالا نیز شما آورده اید $ f_{2}$ از مجموع دو جمله قبل و برابر 2 میشود.
بابررسی اولیه ولی  این نیز دنباله فیبوناتچی را میدهد اما اندیس های آنها یک واحد اختلاف دارد

---

@good4us اگر $f_2=2$ باشد آنگاه طبق آن چه که در دیدگاه تان نوشته اید به یک چیز اشتباه می رسیم.

---

@Elyas1 گفتنِ اگر $f_2=2$ ندارد، تعریفی که در متن پرسش گذاشته‌اید **حتما** $f_2=2$ است. حالا که دیدید متن پرسش‌تان به این شکل اشتباه است با مرجع‌تان چک کنید که آیا شرطی برای $m$از قلم نینداخته‌اید یا اینکه در کل متن پرسش را درست نوشته‌اید؟

---

@AmirHosein  با مرجع چک کردم. تنها چیزی که یادم رفت بنویسم این بود که m عددی طبیعی است و البته یک قسمت دیگر که چند جمله ی اول دنباله را نوشته است.

---

@AmirHosein سوال را ویرایش کردم. فقط در تایپ نمی دانم چگونه $=1$ را جلوی n قرار دهم.

---

@Elyas1 بر روی ویرایش کلیک کنید و مقایسه کنید که چگونه این کار را انجام داده‌ام. ولی ویرایش شما تغییری از نظر معنا ایجاد نکرده‌است و کماکان مثال نقضی که آقای @good4us آوردند نادرست بودن حکم را نشان می‌دهد. اگر می‌شود شمارهٔ صفحه و شمارهٔ پرسش را نیز در قسمت مرجع بنویسید. اگر پرسش واقعا اینگونه بوده‌است آنگاه دیدگاه آقای @good4us به عنوان پاسخ برای این پرسش و نشان دهندهٔ اشتباه بودن متن پرسش در کتاب مرجع شمرده می‌شود.

---

@good4us و @AmirHosein  از توجه شما بزرگواران تشکر می کنم. با توجه به اینکه این پرسش دارای مشکل است، اگر بخواهد این مشکل اصلاح شود، باید این اصلاح روی تعریف دنباله  یا روی m انجام شود؟

---

در خط اول fnبرای n های طبیعی تعریف شده اما در خط بعد f0مطرح کرد در واقع f0اشتباه است برای رفع این اشتباه f0حذف کنید یعنیfnهای بنابه خط اول F1 وf2و.... تعریف می شود که دو جمله اولش 1 می باشه
یعنی

f1=f2=1

Answer 1

دنبالهٔ $\lbrace f_n\rbrace_{n=0}^\infty$ که در پرسش آمده‌است، دنبالهٔ فیبوناچی است. در حکم پرسش قرار دهید $m=1$ پس اگر حکم درست باشد باید داشته‌باشیم $f_{n+1}=f_{n-1}f_1+f_nf_2$. چون $f_1=1$ و $f_2=2$، یعنی $f_{n+1}=f_{n-1}+2f_n$ که با $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ تناقض ایجاد می‌کند. رابطهٔ جدید نیز دنباله فیبوناتچی را می‌دهد، اما اندیس‌های آنها یک واحد اختلاف دارد.

Comments

سلام.
باید جمله دوم را 1 در نظر گرفت.

Answer 2

توجه داشته باشید که $f_1=f_2=1$ حالا $n$ را ثابت و دلخواه در نظر بگیرید و استقرا را روی $m$ بکار ببرید.واضح است برای 1 درست است.طبق استقراء قوی فرض کنید حکم برای $1,2,3....m$ درست باشد.پس برای $m+1$ داریم:

$$f_{(m+1)+n}=f_{(m+n)+1}=f_{m+n}+f_{(m+n)-1}=f_{m+n}+f_{(m-1)+n}$$ $$=f_{n-1}f_m+f_nf_{m+1}+f_{n-1}f_{m-1}+f_nf_m$$

$$=f_{n-1}(f_m+f_{m-1})+f_n(f_{m+1}+f_m)$$

$$=f_{n-1}f_{m+1}+f_nf_{m+2}$$

$ \Box $