دو ریشهٔ دومِ متمایز برای $i$ بیابید.

Question

دو ریشهٔ متمایزِ $i$ را بیابید.

منظور از این مسأله را متوجه نمی‌شوم. مگر دو ریشه دوم بیشتر داریم؟ اگه دوتا ریشه دوم متمایز از $i$ داشته باشیم با خود $i$ میشه سه ریشه.

Comments

@Ashkanmath مگر $i$ ریشهٔ دوم خودش هست که با دو ریشهٔ دیگر بشوند سه ریشه؟
$i^2=-1\neq i$

---

@ashkanmath تا جاییکه بنده اطلاع دارم، غیر از $0$ و $1$ هیچ عددی نمیتواند ریشه دوم خودش باشد. جواب زیر را با mathcad بدست آوردم.
$\sqrt{i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{2}$

Answer 1

$0+1i , r= \sqrt{ 0^{2}+1^{2} }=1 $

$ i^{ \frac{1}{2} }= (e^{i( \frac{ \pi }{2}+2k \pi ) })^{ ^{{ \frac{1}{2} }} }=e^{i( \frac{ \pi }{4}+k \pi ) } ,k=0,1 $

$ k=0 \Rightarrow e^{i( \frac{ \pi }{4} ) }=cos\frac{ \pi }{4}+i sin\frac{ \pi }{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2}+i \frac{ \sqrt{2} }{2} , k=1 \Rightarrow e^{i( \frac{ 5\pi }{4})}=cos\frac{ 5\pi }{4}+i sin\frac{ 5\pi }{4}= -\frac{ \sqrt{2} }{2}-i \frac{ \sqrt{2} }{2} $

Answer 2

به نام خدا

هر عدد مختلطی را می‌توان به‌شکل $a+bi$ نوشت (که در آن $i= \sqrt{-1} $ و $a,b\in\mathbb{R}$). بنابراین برای محاسبۀ ریشۀ دوم $i$، می‌نویسیم:

$$ \sqrt{i} = a+bi$$

سپس طرفین تساوی را به‌توان دو می‌رسانیم:

$$({\sqrt{i}})^2=(a+bi)^2 \Rightarrow i=a^2+2abi+b^2i^2$$

در نتیجه:

$$\color{brown}{0}+\color{brown}{1}i=\color{brown}{(}a^2-b^2\color{brown}{)}+\color{brown}{(}2ab\color{brown}{)}i$$

بنابراین:

$$\begin{cases}a^2-b^2=0\\2ab=1 \Rightarrow \large{a= \frac{1}{2b}} \end{cases} \Rightarrow \bigg( \frac{1}{2b} \bigg)^2-b^2=0 \Rightarrow -4b^4+1=0 \Rightarrow \boxed{b= \pm\frac{1}{ \sqrt{2} } }$$ $$ \large\Rightarrow a= \frac{1}{2\cdot\bigg(\pm\frac{1}{ \sqrt{2}}\bigg)}=\pm \frac{1}{ \sqrt{2} } $$ $$ \large\Longrightarrow \begin{cases}a=\pm \frac{1}{ \sqrt{2}}\\ b=\pm \frac{1}{ \sqrt{2} } \end{cases} \Rightarrow \sqrt{i}=\pm\bigg( \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{2}}i \bigg) $$

بنابراین دو ریشهٔ دومِ متمایزِ $i$، برابر هستند با:

$$\boxed{\Large\sqrt{i}=\begin{cases} \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }i\\-\frac{1}{ \sqrt{2} } -\frac{1}{ \sqrt{2} }i \end{cases}}$$