فرق بین گروه و میدان در جبر

Question

فرق میان گروه و میدان در چیست؟ آیا میتوان گفت که گروه روی یک عمل تعریف شده در صورتی که میدان روی دوعمل ضرب و جمع، آیا میدان عمل‌های دیگری می‌پذیرد یا خیر.

Comments

@MarianJ تعریف گروه و میدان را در کتابی خوانده‌اید؟ اگر خود تعریف‌ها را نمی‌دانید ابتدا به یک مرجع مناسب مراجعه کنید. نیم‌گروه‌ها و خیلی ساختارهای دیگر هم یک عمل دارند ولی گروه نیستند! حلقه‌ها و خیلی ساختارهای دیگر هم دو عمل دارند ولی میدان نیستند! گروه و میدان فقط با شمردن عمل‌ها تعیین نشده‌اند.

---

@AmirHosein
خیلی ممنون استاد،
 من منظورم این بود که آیا میدان فقط روی دو عمل جمع و ضرب تعریف میشن، یعنی مثلا میدان عملیات دیگری رو شامل نمیشه؟
بعد من یکم در تصور گروه و میدان دچار مشکل هستم، میخواهم یک مرجعی باشه که مقایسه بین این‌دوتارو انجام داده باشه، ولی مراجعی که من دیدم بیشتر به تعریف پرداختن و وقتی از کسانی دیگر می‌پرسم تفاوتش را در حوزه همین عمل (ضرب و جمع) و تفاوت در جابه‌جایی و غیره تعریف می‌کنن که این تفاوت‌ها چندان به اون تصور ذهنیم کمک نمیکنه. ممنون میشم اگر تفاوت‌های دیگری را بهم بگید.

---

@MarianJ شما اگر تعریف میدان را خوانده‌باشید آنگاه می‌دانید که چند تا عمل در تعریف آمده‌است، نه؟ اعداد حقیقی با جمع یک گروه است. با جمع و ضرب یک میدان است. آیا اینکه عملی غیر از جمع روی اعداد حقیقی می‌توان یافت، گروه بودنِ اعداد حقیقی و جمع را به اشکال می‌اندازد؟ خیر. چرا؟ چون وقتی می‌گوئید گروه باید هم مجموعه و هم عمل مورد نظر را ثابت در نظر بگیرید و به اینکه چه عمل‌های دیگه‌ای می‌شود تعریف کرد کاری ندارید. زوج مرتب $(\mathbb{R},+)$ یک گروه است ولی زوج مرتب $\mathbb{R},\times)$ یک گروه نیست. توجه کنید هر دفعه هم مجموعه و هم عمل را اشاره کردم، روی هوا نمی‌گویم اعداد حقیقی یک گروه! حالا آیا می‌گویند سه‌تایی $\mathbb{R},+,\times)$ یک گروه؟ خیر، چرا؟ چون تعریف گروه را نگاه کنید چه می‌گوید؟ می‌گوید یک مجموعه و یک عمل هر گاه شرایط فلان را داشت آنگاه گروه. حرفی از یک مجموعه و دو عمل یا یک مجموعه و تعداد دلخواه عمل نزده‌اند. نیازی به نوشتن صریح مقایسه نیست، چون دقیقا خود تعریف واضح و روشن است. روی میدان اعداد حقیقی غیر از جمع و ضرب معمولی خیلی عمل‌ها می‌توان تعریف کرد، تفریق، تقسیم، کمینه ($\min$)، عمل‌های بدیهی مثلا حاصل عمل بر روی هر دوتایی دلخواه برابر با یک عضو ثابت شود و غیره. حالا اینکه اعداد حقیقی میدان است، باید دید منظورتان اعداد حقیقی با کدام دو عمل است. وقتی در یک منبع فقط می‌نویسد اعداد حقیقی میدان است از قبل دو عمل اشاره شده‌است و قرارداد کرده‌است که از این به بعد منظور از میدان اعداد حقیقی فلان است. به صورت پیش‌فرض دو عمل جمع و ضرب معمولی مدنظر است مگر اینکه اشاره شده‌باشد.
در آخر باید اشاره کنم که در اینجا منظور از عمل، عمل دوتایی است. عمل‌های یک‌تایی، سه‌تایی و غیره هم داریم. یک عمل دوتایی یک تابع از حاصلضرب دکارتی یک مجموعه در خودش است به آن مجموعه. برای دادهٔ بیشتر به پست‌های مربوط به جبر جامع در همین سایت یا کتاب‌‌های مرتبط نگاه کنید.

---

دقیقا حق با شماست. متاسفانه در اکثر تعریف ها  و یا منابع اینترنتی تعریف را ناقص بیان می کنند که دچار شبهه می کند. یا اینگونه القا می کند که میدان فقط نسبت به دو عمل جمع و ضرب است.