معکوس ماتریس هیلبرت

Question

آیا می توان نشان داد که ماتریس $A$ دارای معکوس می باشد و درایه های معکوس آن اعداد صحیحی می باشند:

$A= \begin{bmatrix}1 &1\over 2 & 1 \over 3 & \ldots &1 \over n \\1\over 2 & 1 \over 3 & 1\over 4 & \ldots &1 \over n+1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \cdots & \vdots \\1\over n & 1 \over n+1 & 1\over n+2 & \ldots &1 \over 2n-1 \end{bmatrix}_{n \times n} $

Answer 1

این ماتریس به عنوان ماتریس هیلبرت شناخته می شود که درایه های آن به صورت $a_{ij}=\frac1{i+j-1}$ تعریف می شود.

می توانید به این مقاله Tricks or Treats with the Hilbert Matrix رجوع کنید تا هم اثباتشو ببینید هم چیزهای بیشتری رو در مورد این ماتریس بخونید.