به فرض $A\in M_{n\times n}(F)$ یک ماتریس مربعی از مرتبهٔ $n$ و با درایههای از یک میدان دلخواه $F$ باشد. اگر برای عدد طبیعی $r$ای داشته باشیم $1 \leq rank(A) \leq n-r$. چون $r\geq 1$ پس ماتریس $A$ رتبهٔ کامل ندارد (رتبهناقص است) و در نتیجه $\det(A)=0$. بعلاوه دستگاههای $Ax=0$ و $A^t y=0$ دارای $r$ پاسخ مستقلخطی خواهند بود. این بردارها و درایههایشان را به صورت زیر نامگذاری کنید.
$$\forall 1\leq i\leq r\;\colon\;x^{(i)}=
\begin{bmatrix}x^{(i)}_1\\ \vdots\\ x^{(i)}_n\end{bmatrix}
\;,\;y^{(i)}=
\begin{bmatrix}y^{(i)}_1\\ \vdots\\ y^{(i)}_n\end{bmatrix}
$$
اکنون $b\in F^n$ را یک بردار دلخواه بردارید. ثابت کنید که دستگاه ناهمگنِ $Ax=b$ دارای پاسخ است اگر و تنها اگر به ازای هر $i\in\lbrace 1,\cdots,r\rbrace$ داشتهباشیم $b^ty^{(i)}=0$.
